ch8-分离变量法.pdf

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ch8-分离变量法

. 第八章 分离变数法 Method of Separation of Variables 王少伟 shaoweiwang@126.com 2012-2-16 王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 1/1 目录 王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 2/1 学习要求 1... 掌握分离变量法,理解本征值问题与本征函数的联系,会灵活处理 较简单的非齐次边界条件的情况; 2... 熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法; 3... 能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。 王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 3/1 王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 4/1 齐次方程的分离变数法 研究长为 l,两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题 u − a u , (1.1) tt xx u, t , ul, t , (1.2) ux, φx, u x, x. (1.3) t 从物理上知道,一个复杂的振动往往可以分解成许多简单振动的叠加。如 弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音的叠加。 相应于每种单 音,弦振动时波形保持不变,从而当时间变化时各点的振副作同步的变化。即 每种单音都是具有形式为 ux, t XxTt 的特殊解,而整个复杂振动过程可以通过这种特殊解的叠加得到。 王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 4/1 齐次方程的分离变数法 我们试求方程(1.1)的可以分离变量的非平凡(即不恒等于零)的特解: ux, t XxTt, (1.4) 并要求它满足齐次边界条件(1.2)。这里 Xx 及 Tt 分别表示仅与 x 有关 及仅与 t 有关的待定函数。 将(1.4)代入方程(1.1),得到 ′′ ′′ ′′ ′′ T t X x XxT t − a X xTt ⇒ . (1.5) a Tt Xx 由于在 (1.5)式中,左边仅是 t 的函数,右边仅是 x 的函数,左右两端要相 等,只有等于同一个常数才可能。记此常数为 −λ ,得到两个ODE

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