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ch8-分离变量法
.
第八章 分离变数法
Method of Separation of Variables
王少伟
shaoweiwang@126.com
2012-2-16
王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 1/1
目录
王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 2/1
学习要求
1... 掌握分离变量法,理解本征值问题与本征函数的联系,会灵活处理
较简单的非齐次边界条件的情况;
2... 熟悉并掌握齐次泛定方程的定解问题的求解方法;
3... 能对简单非齐次泛定方程的定解问题求解。
王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 3/1
王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 4/1
齐次方程的分离变数法
研究长为 l,两端固定的均匀弦的自由振动,即定解问题
u − a u , (1.1)
tt xx
u, t , ul, t , (1.2)
ux, φx, u x, x. (1.3)
t
从物理上知道,一个复杂的振动往往可以分解成许多简单振动的叠加。如
弦振动所发出的声音可以分解成各种不同频率的单音的叠加。 相应于每种单
音,弦振动时波形保持不变,从而当时间变化时各点的振副作同步的变化。即
每种单音都是具有形式为
ux, t XxTt
的特殊解,而整个复杂振动过程可以通过这种特殊解的叠加得到。
王少伟 (山东大学工程力学系) 数学物理方法 2012-2-16 4/1
齐次方程的分离变数法
我们试求方程(1.1)的可以分离变量的非平凡(即不恒等于零)的特解:
ux, t XxTt, (1.4)
并要求它满足齐次边界条件(1.2)。这里 Xx 及 Tt 分别表示仅与 x 有关
及仅与 t 有关的待定函数。
将(1.4)代入方程(1.1),得到
′′ ′′
′′ ′′ T t X x
XxT t − a X xTt ⇒ . (1.5)
a Tt Xx
由于在 (1.5)式中,左边仅是 t 的函数,右边仅是 x 的函数,左右两端要相
等,只有等于同一个常数才可能。记此常数为 −λ ,得到两个ODE
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