河北丰宁满族自治县第三中学2016届九年级中考数学经典平面几何难题解析.docVIP

经典平面几何题目解析 解析人 丰宁满族自治县第三中学 吕振杰 经典难题（一） 1、已知：如图，O为半圆的圆心，C,E是圆上的两点，， 求证：CD=GF。 证明：从已知条件，可以得到 G,O,F,E四点共圆，因为，所以 内接四边形的外接圆的直径为OE，作出这个圆。 构造直角三角形，可以得到: 又因为 又在中，得到 又圆内接四边形的性质可以得到，又OE=OC 所以得到：CD=GF. 2、已知，如图，P为正方形ABCD内点，. 求证：为等边三角形。 证明：将三角形PAD绕点D顺时针到DCE，连接PE，如图所示。 这样可以得到，因为PD=DE，所以三角形 PDE为等边三角形，因此PE=DE=CE(其实E为三角形PDC的内心)。同时得到.又 所以有.因此有所以有 PC=CD. 由.所以PB=PC=BC.因此为等边三角形。 方法二：用三角法。设正方形的边长为。 在三角形PAD中，用正弦定理有： 在三角形BAD中，依据余弦定理有： 所以 这样得到 因此三角形PBC为等边三角形。 3、如图，已知四边形，都是正方形，、、、分别是、、、的中点，求证：是正方形。 证明：连接，，并取得他们的中点E，F .连接,,,,并延长， 交于P，直线与直线交于H,直线 和直线交于G。 由中位线定理可以得到,,因为 又因为,,因为,所以 由中位线定理可以得到,,因为,所以.同理可以得到,因为,所以,所以 这样得到，所以 同时得到。 因为，所以在中，得到 也就是，所以. 同理可以得到其他三个角为直角，并且 因此是正方形。 4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别是AB、CD的中点，AD,BC的延长线交MN于E，F. 求证：. 证明：连接AC，取线段AC的中点G。连接GN，GM。 因为,,依据三角形中位线定理有 ,并且 又因为,,依据三角形中位线定理有 ,并且 因为,所以 因此有。证毕。 经典难题（二） 1、已知：中，H为垂心（各边高的交点），O为外心，且于M。 (1)求证：AH=2OM； (2)若，求证：AH=AO. 证明：（1）作出如图所示的辅助线。 可以容易得到PC=2OH. 又容易得到，，所以 。 由 垂心性质可以得到,而 所以 从而四边形AHCP为平行四边形。 所以有AH=PC. 因此有AH=2OM。 （2）由（1）可以得到，若，所以 ,这样在中， 得到,从而有AH=AO。 2、设MN是圆O外一直线，过O作于A， 自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线 EB及CD分别交于P，Q. 求证：AP=AQ。 证明：过O点作于F，于K。 因为，， 所以,因此O,Q,A,F四点共圆，这样有 同样有，，所以，这样有 由外角定理有：，. 因为,所以. 容易得到,又，所以 从而，因此有，，OA=OA，这样就有 设MN是圆O的弦，过MN中点A任作两弦BC，DE, 设CD、EB交MN于P、Q两点 求证：AP=AQ. 证明：过圆心O分别作于,作 于。连接。 由，,可以得到 ,所以四点 共圆，因此. 由，,可以得到 ,所以四点 共圆，因此. 因为C,B,E,D四点共圆，所以可以得到 由垂径定理可以得到：,所以有 又因为 所以 因此有=。又，从而可以容易得到。 4、如图，分别以的AC和BC为一边，在 的外侧作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点。 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半。 证明：如图作于,于 于. 由, , 所以得到,又 所以得到 这样得到为梯形的中位线，所以 有 由已知条件可以得到 所以有 因为 与此同时得到,因为，所以有. 经典难题（三） 如图，四边形为正方形，,,与交于. 求证： 证明：连接交于点，依据正方形的 性质，可以得到,并且 过点作于. 因为，所以,又 所以,因为 所以 因为，所以 在等腰直角三角形中，。所以 又，所以在三角形中， 从而,因此有 如图，四边形为正方形，,且,直线交延长线于F. 求证：. 证明：连接交于，过点作于。由正方形的性质可以得到 , 因为,所以. 因为，，，所以 这样得到,,所以 又因为. 所以，因此。 在中，得到 所以，证毕。 设是正方形一边上的一点，,平分. 求证：。 证明：连接,. 因为是平行四边形，所以 . 已知,平分.所以 这样.因为,所以 因此，所以四点共圆，因此有 这样在直角三角形中，有,所以，证毕。 方法二：过点作,这样很容易 得到 因为，所以得到： 而,所以 ，为此得到 又因为是正方形，所以 从而有 所以 这样可以得到 如图，为圆于,为圆的直径， 为圆的割线，、与直线 相交于、。 求证： 证明：过点作于，因为为圆的切线，为圆的直径，所以,因此有,所以四点共圆，因此. 为了进一步证明，过点作,交于,交于. 因为，所以。 所以有,因此四点共圆，所以有. 因为四点共圆，所以 从而