第1讲　排列、组合与二项式定理.docVIP

第1讲　排列、组合与二项式定理 计数原理、排列、组合问题 1.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(　A　) (A)12种 (B)10种 (C)9种 (D)8种 解析:分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,共有C21=2(种)选派方法; 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C42=6(种)选派 方法. 由分步乘法计数原理,不同选派方案共有2×6=12(种). 2.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的排列方式的种数有(　D　) (A)A44A55 (B)A33A44A53 (C)C31A44A55 (D)A22A44A55 解析:先把3个品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑,不能放在头尾,油画与国画有A22种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方法有A22A44A55种. 3.从6本不同的书中选出4本,分别发给4个同学,已知其中两本书不能发给甲同学,则不同分配方法有(　C　) (A)180 (B)220 (C)240 (D)260 解析:先从其他四本不同的书中选一本发给甲同学,有C41种;再从剩下的五本不同的书中选三本发给其他3个同学,有A53种;则不同分配方法有C41A53=240种. 4.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　B　) (A)243 (B)252 (C)261 (D)279 解析:由0,1,…,9十个数字共可组成三位数个数为C91C101C101=900,其中无重复数字的三位数有C91A92=648(个),则符合题意的三位数个数为900-648=252.故选B. 5. 如图,用6种不同的颜色把图中A,B,C,D4块区域分开,若相邻区域不能涂同一种颜色,则涂色方法共有　　　　种(用数字作答).? 解析:从A开始涂色,A有6种涂色方法,B有5种涂色方法,C有4种涂色方法,D若与A颜色相同有1种涂色方法,否则有3种涂色方法.共有6×5×4×(1+3)=480种涂色方法. 答案:480 6.有4名优秀学生A,B,C,D全部被保送到甲,乙,丙3所学校,每所学校至少去一名,则不同的保送方案共有　　　种.? 解析:先把4名学生分为2,1,1的3组,有C42C21C11A22=6种分法,再将这3组分配到3所学校,有A33=6种情况,则共有6×6=36种不同的保送方案. 答案:36 7.在运动会百米决赛上,8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有　　　种.? 解析:分两步安排这8名运动员. 第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排. 所以安排方式有A43=4×3×2=24种. 第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有A55=5×4×3×2×1=120种. 故安排这8人的方式有24×120=2880种. 答案:2880 二项式定理的应用 8.在(x-2x)5的二项展开式中,x2的系数为(　A　) (A)40 (B)-40 (C)80 (D)-80 解析:(x-2x)5的展开式的通项为 Tr+1=C5rx5-r(-2x)r=(-2)rC5rx5-3r2, 令5-3r2=2,得r=2,故展开式中x2的系数是(-2)2C52=40,故选A. 9.若二项式(x3-1x)n(n∈N*),展开式中含有常数项,则n的最小值为(　A　) (A)7 (B)6 (C)5 (D)4 解析:根据题意,得Tr+1=Cnrx3(n-r)(-x-12)r=Cnr(-1)rx6n-7r2,令6n-7r=0,得n=7r6,故n的最小值为7,故选A. 10.已知关于x的二项式(x+a3x)n展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为(　C　) (A)1 (B)±1 (C)2 (D)±2 解析:根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为32,则有2n=32,可得n=5,则二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5r(x)5-r(a3x)r=C5rarx15-5r6令15-5r=0得r=3,由题意有C53a3=80,解可得a=2;故选C. 11.在二项式(x2+1x)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为(　A　) (A)32 (B)-32 (C)0 (D)1 解析:依题意得所有二项式系数的和为2n=32,解得n=5. 因此,令x=1,则该二项展开式中的各项系数的和等于(12+11)5=32,故 选A. 12.(2015皖南