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第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 空间几何体的三视图 1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(　B　) 解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B. 2.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(　A　) (A)圆柱 (B)圆锥 (C)四面体 (D)三棱柱 解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A. 3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(　D　) (A)①和② (B)③和① (C)④和③ (D)④和② 解析:在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D. 4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(　D　) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D. 空间几何体的表面积与体积 5.(2015新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(　B　) (A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛 解析:设圆锥底面半径为r, 因为米堆底部弧长为8尺, 所以r=8,r=≈(尺), 所以米堆的体积为 V=××π×()2×5≈(立方尺), 又1斛米的体积约为1.62立方尺, 所以该米堆有÷1.62≈22(斛),选B. 6.(2015新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　D　) (A) (B) (C) (D) 解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=, 所求比值为=. 7.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为(　B　) (A)π+2 (B)2π+4 (C)2π+6 (D)π+4 解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥, 因为V=××πa2×4+××2a×a×4 =a2(π+2) =, 所以a2=4, 所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B. 8.(2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(　A　) (A)32+4π (B)24+4π (C)12+ (D)24+ 解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故选A. 多面体与球的切接问题 9.(2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(　B　) (A)16π (B)9π (C)4π (D)π 解析:由三视图可知立体图形如图所示. 由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2, 设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R, 则AB==, 在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=, 因为S=4πR2, 所以此三棱锥外接球的表面积为9π. 10.(2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为(　B　) (A)1 (B) (C) (D)2 解析:设外接球O的半径为R,则4πR2=16π, 所以R=2, 由题意知长方体的对角线为球的直径, 又AB∶AD∶AA1=∶1∶2, 设AD=x,AB=x,AA1=2x, 则x2+(x)2+(2x)2=42, 解得x=, 球心O到平面