第2讲　平面向量、复数.docVIP

第2讲　平面向量、复数 平面向量的概念及线性运算 1.(2015资阳市一诊)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(　B　) (A)A,B,C三点共线 (B)A,B,D三点共线 (C)A,C,D三点共线 (D)B,C,D三点共线 解析:=+=2a+6b=2(a+3b), 则=2,即A,B,D三点共线,故选B. 2.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则|b|等于(　C　) (A) (B) (C)2 (D)2 解析:因为a∥b,所以1×m=2×(-2),解得m=-4, 所以b=(-2,-4),|b|==2.故选C. 3.(2014福建卷)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于(　D　) (A) (B)2 (C)3 (D)4 解析:依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以+=2,+=2, 所以+++=4.故选D. 4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=　　　　.? 解析:因为O为AC的中点, 所以+==2,即λ=2. 答案:2 平面向量的数量积 5.(2014山东卷)已知向量a=(1,),b=(3,m),若向量a,b的夹角为,则实数m等于(　B　) (A)2 (B) (C)0 (D)- 解析:根据平面向量的夹角公式可得=,即3+m=×,两边平方并化简得6m=18,解得m=,经检验符合题意.故选B. 6.(2015重庆卷)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　C　) (A) (B) (C) (D) 解析:因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0, 得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ, 则cos θ===-, 又0≤θ≤π,所以θ=,故选C. 7.(2015辽宁锦州市质检)已知向量=(2,2),=(4,1),点P在x轴上,则·取最小值时P点坐标是(　D　) (A)(-3,0) (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(3,0) 解析:设P(x,0),则=-=(x-2,-2), =-=(x-4,-1), 所以·=(x-2)(x-4)+2 =x2-6x+10 =(x-3)2+1, 所以x=3时,·取得最小值, 此时P(3,0).故选D. 8.(2015厦门质检)如图,正六边形ABCDEF中,AB=2,则(-)·(+)等于(　D　) (A)-6 (B)-2 (C)2 (D)6 解析:由-=, +=+=, 则(-)·(+) =·=||||cos =2×2×=6. 故选D. 9.(2015福建卷)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于(　A　) (A)13 (B)15 (C)19 (D)21 解析:以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(,0) (t0),C(0,t),P(1,4),·=(-1,-4)·(-1,t-4)=17-(4t+)≤17-2×2=13(当且仅当t=时,取“=” ), 故·的最大值为13,故选A. 10.(2015湖北七市(州)3月联考)已知向量=(2,m),=(1,),且向量在向量方向上的投影为1,则||=　　　　　　.? 解析:||·cos,===1, 解得m=0. 则||==2. 答案:2 11.在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2),若∠ABO=90°,则实数t的值为　　　　.? 解析:若∠ABO=90°, 即⊥, 由=-=(-3,t-2),=(-2,-2), 所以·=(-3,t-2)·(-2,-2) =6-2t+4 =0, t=5. 答案:5 复数的概念与运算 12.(2015山西太原市模拟)已知i为虚数单位,集合A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数z等于(　A　) (A)-4i (B)4i (C)-2i (D)2i 解析:由题意zi=4, 所以z==-4i. 故选A. 13.(2015贵州七校联盟第一次联考)复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(　A　) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解析:由已知z= = =[(m-4)-2(m+1)i]. 在复平面上对应的点如果在第一象限, 则而此不等式组无解, 即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.故选A. 14.(2015江苏卷)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为　　　　.? 解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi, 由复数相等的定义得 解得或从而|z|==. 答案: 15.(2015天津卷)i是虚数单位