第2讲　直线与平面的位置关系.docVIP

第2讲　直线与平面的位置关系 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 空间线面位置关系的判断 训练提示:判断空间中线面位置关系关键是根据定义、判定定理、性质定理进行判断,注意反证法的应用. 1.(2015河南六市第一次联考)如图,四棱锥SABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若SD⊥平面PAC,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由. (1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC. 在正方形ABCD中,AC⊥BD, 所以AC⊥平面SBD,得AC⊥SD. (2)解:在棱SC上存在一点E, 使BE∥平面PAC.设正方形边长为a,则SD=a,由SD⊥平面PAC可得PD=a,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN(图略),在△BDN中知BN∥PO,又由于NE∥PC,故平面BEN∥平面PAC,得BE∥平面PAC, 由于SN∶NP=2∶1,故SE∶EC=2∶1. 2.(2015兰州高三诊断)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C. (1)求证:AD1⊥BC; (2)在AB上是否存在点M,使得C1M∥平面ADD1A1?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由. (1)证明:连接D1C, 则D1C⊥平面ABCD, 所以D1C⊥BC, 在等腰梯形ABCD中,连接AC, 因为AB=2,BC=CD=1, AB∥CD, 所以BC⊥AC, 所以BC⊥平面AD1C, 所以AD1⊥BC. (2)解:设M是AB上的点, 因为AB∥CD, 所以AM∥D1C1, 因经过AM,D1C1的平面与平面ADD1A1相交于AD1,要使C1M∥平面ADD1A1,则C1M∥AD1,即四边形AD1C1M为平行四边形,此时D1C1=DC=AM=AB,即点M为AB的中点. 所以在AB上存在点M,使得C1M∥平面ADD1A,此时点M为AB的中点. 空间线线、线面位置关系的证明 训练提示:(1)立体几何中,要证线线垂直,常常先证线面垂直,再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面,只需先证线平行于线,再用线平行于面的判定定理易得或先证直线所在的平面与平面平行,即得线面平行. (2)证明立体几何问题,要紧密结合图形,有时要利用平面几何的相关知识,因此需要多画出一些图形辅助使用. 3.(2015山西大同三模)如图所示,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直,AB=2AD,点E为AB的中点. (1)求证:BD1∥平面A1DE; (2)求证:D1E⊥A1D. 证明:(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1交A1D于O,则O是AD1的中点,点E为AB的中点,连接OE,所以EO为△ABD1的中位线, 所以EO∥BD1. 又因为BD1?平面A1DE,OE?平面A1DE, 所以BD1∥平面A1DE. (2)正方形ADD1A1中,A1D⊥AD1, 由已知可得AB⊥平面ADD1A1,A1D?平面ADD1A1, 所以AB⊥A1D,AB∩AD1=A, 所以A1D⊥平面AD1E, 因为D1E?平面AD1E, 所以A1D⊥D1E. 空间面面位置关系的证明 训练提示:(1)证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行. (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决. 4.(2015湖南卷)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点. (1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥FAEC的体积. (1)证明:如图,因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱, 所以AE⊥BB1. 又E是正三角形ABC的边BC的中点, 所以AE⊥BC. 因此AE⊥平面B1BCC1. 而AE?平面AEF, 所以平面AEF⊥平面B1BCC1. (2)解:设AB的中点为D,连接A1D,CD. 因为△ABC是正三角形,所以CD⊥AB. 又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱,所以CD⊥AA1. 因此CD⊥平面A1ABB1, 于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角. 由题知∠CA1D=45°,所以A1D=CD=AB=. 在Rt△AA1D中,AA1===, 所以FC=AA1=. 故三棱锥F