第2讲　解三角形.docVIP

第2讲　解三角形 正、余弦定理及其简单应用 1.(2015辽宁沈阳一模)在△ABC中,若sinCsinA=3,b2-a2=52ac,则cos B的值为(　B　) (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 解析:由正弦定理及sinCsinA=3可得c=3a, 代入b2-a2=52ac可得b2=172a2, 所以cos B=a2+c2-b22ac=a2+9a2-172a22a·3a=14. 故选B. 2.(2015大连市高三一模)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为(　C　) (A)12 (B)1 (C)3 (D)2 解析:由a2=b2+c2-bc得bc=b2+c2-a2, 所以cos A=b2+c2-a22bc=12. 又A∈(0,π), 所以A=π3. 所以S△ABC=12bc·sin A=12×4×sin π3=3. 故选C. 3.(2015河南省郑州市第二次质量预测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-3c)·sin A,则角B的大小为(　A　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)120° 解析:由正弦定理及条件等式可得 (b-c)(b+c)=(a-3c)·a 所以a2+c2-b2=3ac. 所以cos B=a2+c2-b22ac=32. 又B∈(0°,180°), 所以B=30°. 故选A. 4.(2015河南三市第三次调研)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin Bcos C+csin Bcos A=12b,则B=　　　　.? 解析:由asin Bcos C+csin Bcos A=12b及正弦定理得, sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B. 因为sin B≠0, 所以sin Acos C+cos Asin C=12. 即sin(A+C)=12, 所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin (A+C)=12. 所以B=π6或5π6. 答案:π6或5π6 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 三角恒等变换与解三角形的综合 5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos C,bcos B,ccos A成等差数列,则B等于(　C　) (A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)2π3 解析:因为acos C,bcos B,ccos A成等差数列, 所以acos C+ccos A=2bcos B, 根据正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A=2sin Bcos B, 即sin (A+C)=2sin Bcos B, 又A+B+C=π, 所以sin B=2sin Bcos B, 又sin B≠0, 所以cos B=12, 又B∈(0,π), 所以B=π3,故选C. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=14(b2+c2-a2),则B等于(　B　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 解析:根据正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C, 即sin (A+B)=sin C=sin2C, 因为sin C≠0, 所以sin C=1,即C=90°. 由S=14(b2+c2-a2),得12bcsin A=14(b2+c2-a2), 即sin A=b2+c2-a22bc=cos A, 即tan A=1, 又A∈(0°,180°), 所以A=45°, 所以B=45°.故选B. 7.(2015东北三校第一次联合模拟)已知△ABC的面积为2,且满足0AB→·AC→≤4,设AB→和AC→的夹角为θ. (1)求θ的取值范围; (2)求???数f(θ)=2sin2(π4+θ)-3cos 2θ的取值范围. 解:(1)设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 则由已知12bcsin θ=2,0bccos θ≤4, 可得tan θ≥1,所以θ∈[π4,π2). (2)f(θ)=2sin2(π4+θ)-3cos 2θ =1-cos(π2+2θ)-3cos 2θ =1+sin 2θ-3cos 2θ =2sin(2θ-π3)+1. 因为θ∈[π4,π2), 所以2θ-π3∈[π6,2π3), 所以2≤2sin(2θ-π3)+1≤3. 即当θ=5π12时,f(θ)max=3; 当θ=π4时,f(θ)min=2, 所以所求函数的取值范围是[2,3]. 正、余弦定理的实际应用 8.(2015吉林模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它