第3讲　导数的概念及其简单应用.docVIP

第3讲　导数的概念及其简单应用 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 导数的几何意义及导数的运算 1.(2015河南洛阳市统考)已知直线m:x+2y-3=0,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于P点,若l⊥m,则P点的坐标可能是(　B　) (A) (-π2,-3π2) (B) (π2,3π2) (C) (3π2,π2) (D) (-3π2,-π2) 解析:由l⊥m可得直线l的斜率为2,函数y=3x+cos x的图象与直线l相切于P点,也就是函数在P点的导数值为2,而y′=3-sin x=2,解得sin x=1,只有B,D符合要求,而D中P点不在函数图象上,因此选择B. 2.(2014江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2, -5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是　　 　. 解析:易知y′=2ax-bx2. 根据题意有-5=4a+b2,4a-b4=-72,解得a=-1,b=-2,故a+b=-3. 答案:-3 3.(2015吉林实验中学二模)已知函数f(x)=2aex(a0,e为自然对数的底数)的图象与直线x=0的交点为M,函数g(x)=lnxa(a0)的图象与直线y=0的交点为N,|MN|恰好是点M到函数g(x)=lnxa(a0)图象上任意一点的线段长的最小值,则实数a的值是　　　　.? 解析:由已知得M(0,2a),N(a,0),因为g′(x)=1x,则g(x)在x=a处的切线斜率为1a,若|MN|恰好是点M到函数g(x)=lnxa(a0)图象上任意一点的线段长的最小值,则2a-00-a×1a=-1,解得a=2. 答案:2 利用导数研究函数的单调性 4.(2015辽宁沈阳市质量监测一)若定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x) 1,f(0)=4,则不等式f(x)3ex+1(e为自然对数的底数)的解集为(　A　) (A)(0,+∞) (B)(-∞,0)∪(3,+∞) (C)(-∞,0)∪(0,+∞) (D)(3,+∞) 解析:不等式f(x)3ex+1, 可以转化为exf(x)-ex-30, 令g(x)=exf(x)-ex-3, 所以g′(x)=ex(f(x)+f′(x))-ex =ex(f(x)+f′(x)-1)0, 所以g(x)在R上单调递增. 又因为g(0)=f(0)-4=0, 所以g(x)0?x0,即不等式的解集是(0,+∞). 5.(2015兰州高三诊断)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)ex的解集为(　B　) (A)(-2,+∞) (B)(0,+∞) (C)(1,+∞) (D)(4,+∞) 解析:因为f(x+2)为偶函数, 所以f(x+2)的图象关于x=0对称, 所以f(x)的图象关于x=2对称, 所以f(4)=f(0)=1. 设g(x)=f(x)ex(x∈R), 则g′(x)=f(x)ex-f(x)ex(ex)2=f(x)-f(x)ex. 又因为f′(x)f(x),所以g′(x)0(x∈R), 所以函数g(x)在定义域上单调递减. 因为f(x)ex?g(x)=f(x)ex1,而g(0)=f(0)e0=1, 所以f(x)ex?g(x)g(0), 所以x0.故选B. 6.(2015贵州适应性考试)设函数f(x)=ax-sin x,x∈[0,π], (1)当a=12时,求f(x)的单调区间; (2)若不等式f(x)≤1-cos x恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=12时,f′(x)=12-cos x, 由f′(x)0得π3x≤π;由f′(x)0得0≤xπ3, 所以f(x)在(π3,π]上是增函数,f(x)在[0,π3 )上是减函数. (2)f(x)≤1-cos x?1-cos x+sin x-ax≥0. 设g(x)=1-cos x+sin x-ax,x∈[0,π]. g′(x)=sin x+cos x-a=2sin(x+π4)-a. 显然g′(x)在[0,π4 ]上单调递增;在[π4,π]上单调递减, 又g′(0)=1-a,g′(π4)=2-a,g′(π)=-1-a. 当x∈[0,π]时,讨论如下: ①若a≤-1时,g′(x)≥0,g(x)在x∈[0,π]上是增函数, 此时,g(x)≥g(0)=0,1-cos x+sin x-ax≥0成立. ②若a≥2时,g′(x)≤0,g(x)在x∈[0,π]上是减函数; 此时,g(x)≤g(0)=0,1-cos x+sin x-ax≥0不恒成立; ③若1a2时, 由g′(0)0,g′(π4)0,可知存在x0∈(0,π4 ),使得g′(x0)=0. 当