第4讲　与函数的零点相关的问题.docVIP

第4讲　与函数的零点相关的问题 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为(　D　) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是(　B　) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为　　　　.? 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a0,结论成立;若a0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a1,得-1a0,则实数a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为　　　　;? ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　.? 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0a1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时,f(x)有且只有一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥,则≤a1;当a≥1时,2a1,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞). 答案:①-1　②[,1)∪[2,+∞) 确定函数零点所在的区间 5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x0)的根存在的大致区间是(　B　) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4) 解析:设f(x)=ln(x+1)-, 则f(1)=ln 2-20,f(2)=ln 3-10, 得f(1)f(2)0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B. 6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则(　A　) (A)g(a)0f(b) (B)0g(a)f(b) (C)f(b)0g(a) (D)f(b)g(a)0 解析:考查函数y=ex与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0a1;考查函数y=ln x与y=5-2x2的图象,得其交点的横坐标b应满足1b2,f(b)e+2-40,可排除C,D;0a1,g(a)ln 1+2-50,故选A. 利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题 7.(2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数). (1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程; (2)求f(x)在区间[t,t+2](t0)上的最小值; (3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2exf(x)成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=5时g(x)=(-x2+5x-3)·ex,g(1)=e. g′(x)=(-x2+3x+2)·ex,故切线的斜率为g′(1)=4e. 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. (2)f′(x)=ln x+1, x (0, ) (,+∞) f′(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 ①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f(t)=tln t, ②当0t时,在区间(t, )上f(x)为减函数,在区间(,t+2)上f(x)为增函数,所以f(x)min=f()=-. (3)由g(x)=2exf(x),可得2xln x=-x2+ax-3, a=x+2ln x+, 令h(x)=x+2ln x+,h′(x)