第4讲　算法、推理及创新性问题.docVIP

第4讲　算法、推理及创新性问题 　　　　 　　　　　　　 　　　　　　 　　 以命题的推广给出的归纳、类比创新问题 1.(2015福建省泉州五校高三联考)双曲线-=1(a0,b0)的两个焦点为F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3].若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k0且k≠1”,试经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是　　　　.? 解析:若|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为(1,3],区间前端点为1,后端点为3==. 若将其中的条件“|PF1|=2|PF2|”更换为“|PF1|=k|PF2|,k0且k≠1”,经过合情推理,得出双曲线离心率的取值范围是(1, ]. 答案: (1, ] 2.观察下列不等式1+, 1++, 1+++, …… 照此规律,第五个不等式为　　　　　　　　　　.? 解析:不完全归纳: 第一个:1+, 第二个:1++, 第三个:1+++, … 归纳猜想:第n个:1+++…+, 故n=5时,1+++…+. 答案:1+++++ 以新定义给出的创新问题 3.(2015安徽省“江淮十校协作体”第一次联考)设函数f(x)的定义域为D,若?x∈D,?y∈D,使得f(y)=-f(x)成立,则称函数f(x)为“美丽函数”.下列所给出的五个函数: ①y=x2;②y=;③f(x)=ln(2x+3);④y=2x+3; ⑤y=2sin x-1. 其中是“美丽函数”的序号有　　　　　 .? 解析:由题意知“美丽函数”即为值域关于原点对称的函数,容易判断仅有②③④符合题意. 答案: ②③④ 4.(2014安徽卷)若直线l与曲线C满足下列两个条件: (ⅰ)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切;(ⅱ)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲线C. 下列命题正确的是　　　　.(写出所有正确命题的编号)? ①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3 ②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2 ③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x ④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x 解析:①y=x3,y′=3x2,因此曲线C在点P(0,0)处的切线为y=0,结合函数y=x3的图象知,满足(ⅱ),故①正确. ②直线x=-1为曲线C:y=(x+1)2的对称轴,不是切线,故②不正确. ③y=sin x,y′=(sin x)′=cos x,因此,直线l:y=x在点P(0,0)处与曲线C相切,结合图象知满足(ⅱ),故③正确. ④y=tan x,y′=(tan x)′=()′=,y′|x=0=1,曲线C在(0,0)处的切线为y=x,由正切函数图象知满足(ⅱ),故④正确. ⑤y=ln x,y′=(ln x)′=,故曲线C:y=ln x在P(1,0)处的切线为y=x-1,但曲线y=ln x在直线y=x-1的同侧,故⑤不正确.综上知命题正确的是①③④. 答案:①③④ 5.(2014湖北卷)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)0.对任意a0,b0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b).例如,当f(x)=1(x0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数. (1)当f(x)=　　　　(x0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;? (2)当f(x)=　　　　(x0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.? (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可) 解析:过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线的方程为y-f(a)=(x-a),令y=0得c=. (1)令几何平均数=?f(a)+f(b)=bf(a)+af(b),可取f(x)=(x0); (2)令调和平均数=?=,可取f(x)=x(x0). 答案:(1)　(2)x(或(1)k1　(2)k2x其中k1,k2为正常数均可) 6.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,则t的范围是(　D　) (A)(,+∞) (B)(0,1) (C)(0, ) (D)(0, ) 解析:因为函数f(x)=ln(ex+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]?D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,], 因为函数f(x)=ln(ex+t)为增函数, 所以即 即方程ex