苏科版数学八年级下册 第九章 9.4《正方形》提优复习.docVIP

第九章《正方形》提优复习 【知识图解】 1． 2．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系图： 【技法透析】 1．正方形是轴对称图形，有四条对称轴 正方形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心． 2．正方形对角线的特殊性质 一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 　　3．正方形的判定方法 (1)先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等； (2)先证明它是菱形，再证明它有一个角为直角． 考点1　利用正方形的性质解题 例1 　如图所示，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N． (1)求证：MD＝MN． (2)若将上述条件的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图(2)，则结论“MD＝MN”还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【切题技巧】　(1)证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到 可在AD上取中点F，构造△DFM≌△MBN； (2)可类比图(1)中的方法 【规范解答】　(1)证明：取AD的中点F，连接MF． (2)结论MD＝MN仍成立． 证明：在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF． 由(1)中结论可得：DF＝BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN， ∴△DFM≌△MBA，∴MD＝NM． 【借题发挥】　证明两条线段相等的一般思路是，先找到或根据条件构造，使这两条线段分别处在两个“相关”的三角形中，然后再证明这两个三角形全等即可，在探索(2)中结论时，可类比(1)问的分析思路进行． 【同类拓展】　1．已知在锐角△ABC和锐角△AFH的外面作正方形ABEF和ACGH，AD是△ABC的高，如图所示．求证：DA的延长线平分FH． 　 考点2　正方形中规律探究问题 例2 　如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形， 得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方 形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作； 再将其中的一个正方形剪成四个小正方形，共得到10个小正方形， 称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则 需要操作的次数是( ) A．669 B．670 C．671 D．672 【切题技巧】　第一次操作，得到4个小正方形；第二次操作得到7个小正方形，即7＝4＋3；第三次操作得到10个小正方形，即10＝4＋3＋3；由此推断第n次操作可得到4＋3（n－1）个小正方形，由4＋3（n－1）＝2011得n＝670，故选B． 【规范解答】　B 【借题发挥】　对于规律问题，要仔细观察、归纳、合理推理，找到变化的特征，从而得出结论． 2．如图(1)，已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形边长A1B1C1D1按原法延长一倍后得到正方形A2B2C2D2（如图2）；以此类推…，则正方形A4B4C4D4的面积为_______． 　考点3　正方形的判定 例3 　如图，已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，与∠BCA相邻的外角∠ACD的平分线交于点F．(1)求证：OE＝OF； (2)当点O运动到何处时四边形AECF是矩形？说明你的理由；(3)若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC的形状如何？并证明你的猜想． 【切题技巧】　(1)由“角平分线＋平行线等腰三角形”的思路可证OE＝OC＝OF； (2)由矩形的对角线互相平分可知O为AC的中点；(3)在(2)的前提下，可知∠ACE＝45°，即∠ACB＝90°时，四边形AECF为正方形． 【规范解答】　 ∴四边形AECF是矩形， ∴当点O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形． (3)解：若能使四边形AECF为正方形，则原△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，O为AC边的中点， 理由如下：由(2)可知：若OA－OC，则四边形AECF为矩形． 若∠ACB＝90°，则∠ECO＝∠FCO＝45°，即OC平分∠ECF． ∵OE＝OF，即OC为△ECF的中线， ∴CE＝CF． ∵四边形AECF为矩形． ∴四边形AECF为正方形． 【借题发挥】　特殊四边形是指平行四边形、矩形、正方形、梯形，其性质可从边、角、对角线、对称性等方面进行比较（见下表）并记忆掌握，使之在推理