苏科版数学八年级下册 第九章 9.4《矩形与菱形》提优复习.docVIP

第九章《矩形与菱形》提优复习 【知识图解】 【技法透析】 　　1．矩形是特殊的平行四边形，其性质可从三方面看 从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等． 运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分，直线平行、角的相等等问题． 　　2．菱形的面积有两种计算方法 一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和） 3．矩形的判定方法 (1)三个直角＋四边形＝矩形； (2)－个直角＋平行四边形＝矩形； (3)对角线相等＋平行四边形＝矩形； (4)对角线相等且互相平分＋四边形＝矩形； 　　4．菱形的判定方法 (1)四边相等＋四边形＝菱形； (2)－组邻边相等＋平行四边形＝菱形； (3)对角线互相垂直＋平行四边形＝菱形； (4)对角线互相垂直平分＋四边形＝菱形． 考点1　矩形的判定 例1 　如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形． 【切题技巧】　由AB＝AC，D为BC中点可得AD⊥BC，即 ∠ADC＝90°，要证明四边形ADCE为矩形，只需证明四边形ADCE 为平行四边形即可． ∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝CD ∴∠ADC＝90° ∵四边形ABDE为平行四边形 ∴BD AE，故CDAE ∴四边形ADCE为平行四边形 ∴四边形ADCE是矩形 【借题发挥】　矩形的判定方法有三种：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形，在证明一个四边形是矩形时，要充分运用已知条件，结合图形，灵活选择适当的判定方法． 【同类拓展】　1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAF的平分线，BE⊥AE．求证：AB＝DE． 　考点2　菱形中的计算问题 例2 　如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数． 【切题技巧】　由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°，欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°． 【规范解答】　连结AC． ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF． 又∵∠B＝60° ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60． 又∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF ∴AE＝AF，∴△AEF为等边三角形． ∴∠AEF＝60° 又∵∠AEF＋∠CEF＝，∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°， ∴∠CEF＝18° 【借题发挥】　当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的关系． 【同类拓展】　2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2cm，E，F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为( ) A．2 cm B．3 m C．4 cm D．3 cm 　考点3　菱形的轴对称性应用 例3 　如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E为AB的中点，点F是AC上一动点，求EF＋BF的最小值． 【切题技巧】　连结BD，由条件知△ABD为等边三角形，且B、D两点关于直线AC对称，连结DE，则DE⊥AB交AC于点M，点M即为所求的点F的位置， 【规范解答】　连结DB、DE，设DE交AC于M，连结MB、DF． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC、BD互相垂直平分， ∴点B关于AC的对称点为D， ∴FD＝FB，EF＋FB＝EF＋FD≥DE，只有F运动到 点M时，取等号，△ABD中，AD＝AB，∠DAB＝60°， 所以△ABD是等边三角形． 又∵E为AB的中点 ∴DE⊥AB 即∠AED＝90° ∴DE＝ 【借题发挥】　应联想到两点之间线段最短，对称点，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的有关知识，解决此类问题． 【同类拓展】　3．（“希望杯”竞赛）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，点E平分DC，点P在BD上，且PE＋PC＝1，那么边AB的最大值是_______．