题型专题检测(七)　导数与函数的单调性、极值与最值.docVIP

题型专题检测(八)　导数与函数的单调性、极值与最值 1.函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1]　　　　　　　 B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 2．(2015·江西省八校联考)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B. C．(0,1) D．(0，＋∞) 3．(2015·九江统考)已知函数f(x)＝x2＋2ax－ln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________． 4．设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________． 5．(2015·全国卷)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围． 6．(2015·洛阳统考)已知f(x)＝xex－ax2－x. (1)若f(x)在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减，求f(x)的极小值； (2)当x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围． 7.(2015·兰州诊断考试)已知函数f(x)＝ex－ax(aR，e为自然对数的底数)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围． 8．(2015·大连双击测试)已知函数f(x)＝－ex(a＞0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在[1,2]上的最大值； (3)若存在x1，x2(x1＜x2)，使得f(x1)＝f(x2)＝0，证明：＜ae. 1．选B　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得0x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1]． 2．B　f(x)＝x(ln x－ax)， f′(x)＝ln x－2ax＋1，f′(x)在(0，＋∞)，f′(x)＝0，则2a＝， g(x)＝，g′(x)＝， g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)， x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞，g(x)→0， g(x)max＝g(1)＝1， 02a1，0a. 3．解析：由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立． 又y＝－x＋在上单调递减， max＝，2a≥，即a≥. 答案： 4．解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b， 由f′(1)＝0，得b＝1－a. f′(x)＝－ax＋a－1＝＝－. 若a≥0，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以x＝1是f(x)的极大值点． 若a＜0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－. 因为x＝1是f(x)的极大值点， 所以－＞1，解得－1＜a＜0. 综合得a的取值范围是(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) 5．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a. 若a≤0，则f′(x)0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a0，则当x时，f′(x)0； 当x时，f′(x)0. 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值； 当a0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为 f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1. 因此f 2a－2等价于ln a＋a－10. 令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0a1时，g(a)0；当a1时，g(a)0. 因此，a的取值范围是(0,1)． 6．解：(1)f(x)在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减，f′(－1)＝0. f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，2a－1＝0，a＝. f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)， f(x)在(－∞，－1]上单调递增，[－1,0]上单调递减，[0，＋∞)上单调递增，f(x)的极小值为f(0)＝0. (2)f(x)＝x(ex－ax－1)， 令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a. 若a≤1，则x(0，＋∞)时，g′(x)0，g(x)为增函数， 而g(0)＝0，当x≥0时，g(x)≥0，从而f(x)≥0. 若a1，则x(0，ln a)时，g′(x)0，g(x)为减函数，g(0)＝0，故x(0，ln a)时，g(x)0，从而f(x)0，不符合题意． 综上，实数a的取值范围是(－∞，1]． 7．解：(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)0，f(x)在R上为增函数； 当a0时，由f′(x)＝0，得x