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题型专题检测(二十一)　不等式选讲 1．(2015·青岛模拟)已知a，b，c均为正实数． 求证：＋＋≥c＋a＋b. 2．(2015·沈阳质检)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞0； (2)若f(x)＋3|x－4|＞m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围． 3．(2015·唐山二模)设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m. (1)求m； (2)若a，b，c(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值． 4．(2015·邢台模拟)设函数f(x)＝|x＋2|－|x－2|. (1)解不等式f(x)≥2； (2)当xR,0＜y＜1时，证明：|x＋2|－|x－2|≤＋. 5．(2015·郑州模拟)已知函数f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|. (1)当m＝5时，求不等式f(x)＞2的解集； (2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围． [来源:学科网] [来源:学科网ZXXK] 6．(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－a|，aR. (1)当a＝3时，解不等式f(x)≤4； (2)若f(x)＝|x－1＋a|，求x的取值范围． 7．(2015·吉林长春质检)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2； (2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc. 8．(2015·洛阳模拟)(1)设函数f(x)＝＋|x－a|，xR，若关于x的不等式f(x)≥a在R上恒成立，求实数a的最大值； (2)已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求＋＋的最小值． 1．证明：a，b，c均为正实数， ＋≥2＝2c， 同理，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加可得＋＋≥c＋a＋b. 2．解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5＞0, 得x＞－5，所以x≥4. 当－≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3＞0， 得x＞1，所以1＜x＜4. 当x＜－时，f(x)＝－x－5＞0，得x＜－5，所以x＜－5. 综上，原不等式的解集为{x|x＞1或x＜－5}． (2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4| ≥|2x＋1－(2x－8)|＝9， 当－≤x≤4时等号成立， 所以m＜9，即实数m的取值范围是(－∞，9)． 3．解：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2； 当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2； 当x≥1时，f(x)＝－x－3≤－4. 故当x＝－1时，f(x)取得最大值m＝2. (2)a2＋2b2＋c2＝(a2＋b2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2bc＝2(ab＋bc)， 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 此时，ab＋bc取得最大值1. 4．解：(1)当x≥2时，由f(x)≥2，得4≥2，故x≥2； 当－2＜x＜2时，由f(x)≥2，得2x≥2，故1≤x＜2； 当x≤－2时，由f(x)≥2，得－4≤2，无解． 所以f(x)≥2的解集为{x|x≥1}． (2)证明：因为|x＋2|－|x－2|≤4， 又因为＋＝[y＋(1－y)]＝2＋＋≥4， 所以|x＋2|－|x－2|≤＋. 5．解：(1)当m＝5时，f(x)＝5－|x－1|－2|x＋1|. 当x＜－1时，由f(x)＞2，得3x＋6＞2， 解得x＞－，故－＜x＜－1； 当－1≤x≤1时，由f(x)＞2，得－x＋2＞2， 解得x＜0，故－1≤x＜0； 当x＞1时，由f(x)＞2，得4－3x＞2，解得x＜，无解． 所以f(x)＞2的解集为. (2)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2， 该函数在x＝－1处取得最小值2， 因为f(x)＝ 所以f(x)在x＝－1处取得最大值m－2， 所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，只需m－2≥2，解得m≥4. 所以实数m的取值范围是[4，＋∞)． 6．解：(1)当a＝3时， f(x)＝|2x－1|＋|x－3|＝ 其图象如图所示，与直线y＝4相交于点A(0,4)和B(2,4)， 不等式f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤2}． (2)f(x)＝|2x－1|＋|x－a|≥|(2x－1)－(x－a)|＝|x－1＋a|， f(x)＝|x－1＋a|(2x－1)(x－a)≤0， 当a＜时，x的取值范围是； 当a＝时，x的取值范围是； 当a＞时，x的取值范围是. 7．证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2. 因为a，b都是正数，所以a＋b＞0. 又因为a≠b，所以(a－b)2＞0. 于是(a＋b)(a－b)2＞0， 即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0， 所以a3＋b3＞a2b＋ab2. (2)因为b2＋c2≥2bc，a2＞0，所以a2(b2＋c2