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题型专题检测(二十三)　圆锥曲线综合题 1．(2015·邢台摸底)已知A(－2,0)，B(2,0)为椭圆C的左，右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，APB面积的最大值为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线AP的倾斜角为，且与椭圆在点B处的切线交于点D，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明． 2．已知椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率为，过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A，B两点，与抛物线y2＝4x交于C，D两点，且＝. (1)求椭圆E的方程； (2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G，H两点，设P为椭圆E上一点，且满足＋＝t(t≠0，O为坐标原点)，当|－|时，求实数t的取值范围． 3.(2015·四川高考)如图，椭圆E：＋＝1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且·＝－1. (1)求椭圆E的方程． (2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 4.已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ(λ≠0)． (1)求椭圆C的方程； (2)当AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程． 1．解：(1)由题意可设椭圆C的方程为 ＋＝1(ab0)，F(c,0)． 由题意知解得b＝. 故椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)以BD为直径的圆与直线PF相切． 证明如下：由题意可知，c＝1，F(1,0)，直线AP的方程为y＝－x－2，则点D的坐标为(2，－4)，BD中点E的坐标为(2，－2)，圆的半径r＝2. 由得7x2＋16x＋4＝0. 设点P的坐标为(x0，y0)，则 因为点F的坐标为(1,0)， 所以直线PF的斜率为， 直线PF的方程为：4x－3y－4＝0， 点E到直线PF的距离d＝＝2. 所以d＝r.故以BD为直径的圆与直线PF相切． 2．解：(1)直线l过椭圆的右焦点F2且与x轴垂直， |AB|＝，|CD|＝4 . 又椭圆E的离心率为，且＝. 解得 故椭圆E的方程为＋＝1. (2)由题意知直线GH的斜率不为零． 设直线GH的方程为：x＝my＋2. 联立＋＝1与x＝my＋2， 消去x得(m2＋2)y2＋4my－28＝0. 设P(x，y)，G(x1，y1)，H(x2，y2)， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝. ∵＋＝t ， ∴P. ∵P点在椭圆上， 将P点坐标代入椭圆方程得t2＝. |－|， |GH|2＝(1＋m2)(y1－y2)2 ＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2] ＝(1＋m2) ＝， 得14m4＋11m2－250，0≤m21， t2＝， t∈∪. ∴实数t的取值范围为. 3．解：(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)． 又点P的坐标为(0,1)，且·＝－1， 于是解得a＝2，b＝. 所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)． 联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0. 其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－. 从而，·＋λ· ＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝ ＝－－λ－2. 所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3. 此时，·＋λ·＝－3为定值． 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD. 此时，·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3. 4．解：(1)F1，E，A三点共线， F1A为圆E的直径， ∴AF2⊥F1F2. 由x2＋2＝，得x＝±， c＝， |AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1， 2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，a＝2. a2＝b2＋c2，b2＝2， 椭圆C的方程为＋＝1. (2)由题知，点A的坐标为(，1)， ＝λ(λ≠0)， 直线l的斜率为， 故设直线l的方程为y＝x＋m， 联立得，x2＋mx＋m2－2＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－2， Δ＝2m2－4m2＋80，－2m2. 又|MN|＝|x2－x1| ＝＝， 点A到直线l的距离d＝， S△AMN＝|MN|·d＝×|m| ＝≤×＝， 当且仅当4－m2＝m2，即m＝±时等号成立， 此时直线l的方程为y＝x±.