题型专题检测(十一)　等差数列与等比数列.docVIP

题型专题检测(十一)　等差数列与等比数列 1．(2015·全国卷)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　) A．21　　　　　　　　　 B．42 C．63 D．84 2．(2015·陕西省质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋10，则正整数k＝(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则(　　) A．a1d＞0，dS4＞0　　 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 4．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”，若正项等比数列{an}是一个“2 014积数列”，且a11，则其前n项积最大时n的值为(　　) A．1 007 B．1 008 C．1 006或1 007 D．1 007或1 008 5．已知数列{an}，则有(　　) A．若a＝4n，nN*，则{an}为等比数列 B．若an·an＋2＝a，nN*，则{an}为等比数列 C．若am·an＝2m＋n，m，nN*，则{an}为等比数列 D．若an·an＋3＝an＋1·an＋2，nN*，则{an}为等比数列 6．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a6＝a5＋2a4，则的值为________． 7．(2015·全国卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 8．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－d－，则当Sn取最大值时n的值为________． 9．(2015·南昌调研)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知f(x)＝，且f(a2－2)＝sin，f(a2 014－2)＝cos，则S2 015＝________. 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝(nN*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝(nN*)． (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 11.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3an＋2n. (1)求证：数列{an－2}是等比数列； (2)求数列的前n项和Tn. [来源:Zxxk.Com] 12．(2015·湖南高考)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，nN*. (1)证明：an＋2＝3an； (2)求Sn. 1．选B　a1＝3，a1＋a3＋a5＝21， 3＋3q2＋3q4＝21. 1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B. 2．选C　3an＋1＝3an－2an＋1＝an－{an}是等差数列，则an＝－n.ak＋1·ak0， 0， k，k＝23，故选C. 3．选B　a3，a4，a8成等比数列， a＝a3a8，(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)， 展开整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2. ∵d≠0，a1d＜0. Sn＝na1＋d， S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2＜0. 4．选C　由题意可知a1a2a3·…·a2 014＝a2 014，故a1a2a3·…·a2 013＝1，因为数列{an}是正项等比数列，且a11，所以a1 007＝1，公比0q1，所以a1 0061且0a1 0081，故数列{an}的前n项积最大时n的值为1 006或1 007. 5．选C　若a1＝－2，a2＝4，a3＝8，满足a＝4n，nN*，但{an}不是等比数列，故A错；若an＝0，满足an·an＋2＝a，nN*，但{an}不是等比数列，故B错；若an＝0，满足an·an＋3＝an＋1·an＋2，nN*，但{an}不是等比数列，故D错；若am·an＝2m＋n，m，nN*，则有＝＝＝2，则{an}是等比数列． 6．解析：因为a6＝a5＋2a4，所以a4q2＝a4q＋2a4，即q2－q－2＝0，因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以q＝2，＝q2＝4. 答案：4 7．解析：an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. Sn≠0，－＝1，即－＝－1. 又＝－1，是首项为－1，公差为－1的等差数列． ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，Sn＝－. 答案：－ 8．解析：因为等差数列{an}的公差d为负值，所以{an}是递减数列．又a1＝1，所以由an＝a1＋(n－1)d0得n，即n1－，因为－d－，所以1－10，所以n≤9，即当n≤9时，an0，当n≥10时，an0.