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题型专题检测(十七)　椭圆、双曲线、抛物线 1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B．(1，＋∞) C．(1,2) D. 2．(2015·全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 3．抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为，则抛物线方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x 4．(2015·全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A. B．2 C. D. 5．(2015·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　) A.x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 6．(2015·洛阳统考)双曲线－＝1(b＞0)的离心率为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为___________________________________________________________________． 7．若双曲线－＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为___________________________________________________________________． 8．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为________． 9．已知椭圆C：＋＝1，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________. 10．(2015·全国卷)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上． (1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 11.如图所示，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A(0，)，且离心率等于，过点M(0,2)的直线l与椭圆相交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设＝＝λ，若直线l与y轴不重合，试求λ的取值范围． 12．若点A(1,2)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，经过点B(5，－2)的直线l与抛物线C交于P，Q两点． (1)求证：·为定值； (2)若点P，Q与点A不重合，问APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 答 案 1．选C　由题意可得，2k－1＞2－k＞0， 即 解得1＜k＜2，故实数k的取值范围是(1,2)． 2．选B　抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)， 椭圆中c＝2， 又＝，a＝4，b2＝a2－c2＝12， 从而椭圆的方程为＋＝1. 抛物线y2＝8x的准线为x＝－2， xA＝xB＝－2， 将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由图象可知|AB|＝2|yA|＝6. 3．选B　依题意，设M(x，y)，因为|OF|＝， 所以|MF|＝2p，即x＋＝2p，解得x＝，y＝p， 又△MFO的面积为4，所以××p＝4， 解得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x. 4.选D　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a0，b0)，则|BM|＝|AB|＝2a，MBx＝180°－120°＝60°， M点的坐标为. M点在双曲线上， －＝1，即a＝b，c＝a，e＝＝. 5．选A　由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c＞a， 所以有|PF2|＜|F1F2|，所以PF1F2＝30°， 所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos 30°， 得c＝a，所以b＝＝a， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x， 即x±y＝0. 6．解析：双曲线方程为－＝1，a＝2，又离心率为，c＝2，b2＝c2－a2＝4，焦点坐标为(0，±2)，渐近线方程为x±y＝0，焦点到渐近线的距离为＝2. 答案：2 7．解析：由题意，＝，b＝a，c＝2a，e＝2，＝＝＋≥(当且仅