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题型专题检测(十九)　几何证明选讲 1.(2015·东北师大附中四模)如图，已知，在ABC中，D是AB上一点，ACD的外接圆交BC于E，AB＝2BE. (1)求证：BC＝2BD； (2)若CD平分ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长． [来源:Z|xx|k.Com] 2．(2015·陕西高考)如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C. (1)证明：CBD＝DBA; (2)若AD＝3DC，BC＝，求O的直径． 3．(2015·九江统考)如图，已知AB是O的直径，CD是O的切线，C为切点，ADCD交O于点E，连接AC，BC，OC，CE，延长AB交CD于点F. (1)证明：BC＝CE； (2)证明：BCF∽△EAC. [来源:学#科#网] 4.(2015·湖南高考)如图，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明： (1)MEN＋NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO. 5.(2015·河北省五校联盟质测)如图，已知ABC中，AB＝AC，D为ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于点F. (1)求证：CDF＝EDF； (2)求证：AB·AC·DF＝AD·FC·FB. 6.(2015·洛阳统考)如图，O1与O2相交于A，B两点，点P在线段BA的延长线上，T是O2上一点，PTO2T，过P的直线交O1于C，D两点． (1)求证：＝； (2)若O1与O2的半径分别为4,3，其圆心距O1O2＝5，PT＝，求PA的长． [来源:学科网ZXXK] 7.(2015·河北石家庄一模)如图，已知O和M相交于A，B两点，AD为M的直径，延长DB交O于C，点G为的中点，连接AG分别交O，BD于点E，F，连接CE. (1)求证：AG·EF＝CE·GD； (2)求证：＝. 8.(2015·郑州质量预测)如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F. (1)求证：AB为圆的直径； (2)若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长． 答 案 1.解：(1)证明：连接DE， 四边形ACED是圆的内接四边形， BDE＝BCA，又DBE＝CBA， ∴△DBE∽△CBA， ＝， 又AB＝2BE，BC＝2BD. (2)由(1)知DBE∽△CBA，得＝， 又AB＝2BE，AC＝2DE＝2.DE＝1. 而CD平分ACB，DA＝DE＝1.设BD＝x， 根据割线定理得BD·BA＝BE·BC， ∴x(x＋1)＝(2x－1)·2x，解得x＝1，即BD＝1. 2．解：(1)证明：DE为⊙O直径， BED＋EDB＝90°. BC⊥DE，CBD＋EDB＝90°， CBD＝BED. 又AB切⊙O于点B，DBA＝BED， CBD＝DBA. (2)由(1)知BD平分CBA，则＝＝3. 又BC＝，从而AB＝3. 所以AC＝＝4，所以AD＝3. 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即O的直径为3. 3．证明：(1)CD为O的切线，C为切点，AB为O的直径， OC⊥CD， 又ADCD，OC∥AD，OCA＝CAE， 又OC＝OA，OAC＝OCA，OAC＝CAE，BC＝CE. (2)由弦切角定理可知，FCB＝OAC， FCB＝CAE， 四边形ABCE为圆O的内接四边形， ABC＋CEA＝180°， 又ABC＋FBC＝180°，FBC＝CEA， BCF∽△EAC. 4．证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点， 所以OMAB，ONCD， 即OME＝90°， ENO＝90°， 因此OME＋ENO＝180°. 又四边形的内角和等于360°， 故MEN＋NOM＝180°. (2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆， 故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO. 5．证明：(1)A，B，C，D四点共圆，CDF＝ABC. ∵AB＝AC，ABC＝ACB， 且ADB＝ACB，EDF＝ADB＝ACB＝ABC， ∴∠CDF＝EDF. (2)由(1)得ADB＝ABF，又BAD＝FAB， BAD∽△FAB，＝，AB2＝AD·AF， 又AB＝AC，AB·AC＝AD·AF， AB·AC·DF＝AD·AF·DF， 根据割线定理得DF·AF＝FC·FB， AB·AC·DF＝AD·FC·FB. 6．解：(1)证明：PT⊥O2T，PT是O2的切线． PT2＝PA·PB. PD，PB是O1的割线，PC·PD＝PA·PB， PT2＝PC·PD，＝. (2)连接O1A，O2A，O1O2＝5，O1A＝4， O2A＝3， O1O＝O1A2＋O2A2，O1AO2＝90°. 设RtO1AO2斜边上的高为