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题型专题检测(十五)　空间向量与立体几何 1．已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(　　) A.　　　　　　　　　B. C. D. 2．(2015·贵阳市监测考试)如图，点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN 的条数有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为______． 4．(2015·沈阳市质量监测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若BCAC，BAC＝，AC＝4，点M为AA1的中点，点P为BM的中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值为______． 5．(2015·山西省考前质量检测)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，PD底面ABCD，ABCD，ADCD，AD＝AB＝1，BC＝. (1)求证：平面PBD平面PBC； (2)设H为CD上一点，满足＝2，若直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角H-PB-C的余弦值． 6．(2015·兰州市诊断考试)如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB＝2，BC＝CD＝1，顶点D1在底面ABCD内的射影恰为点C. (1)求证：AD1BC； (2)若直线DD1与直线AB所成的角为，求平面ABC1D1与平面ABCD所成角(锐角)的余弦值． [来源:Z_xx_k.Com] 7．(2015·陕西高考)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD＝，AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图. (1)证明：CD平面A1OC； (2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值． 8．(2015·北京海淀模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，PAC是边长为2的等边三角形，PB＝PD＝，AP＝4AF. (1)求证：PO底面ABCD. (2)求直线CP与平面BDF所成角的大小． (3)在线段PB上是否存在一点M，使得CM平面BDF? 如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 答 案 1.选B　如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为ABC的中心，由题意知，PO平面ABC，连接OA，则PAO即为PA与平面ABC所成的角． 在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝， 则S＝×()2＝， VABC-A1B1C1＝S×PO＝，PO＝. 又AO＝×＝1，tan∠PAO＝＝，PAO＝. 2.B　MN，，，2，D1(2,0,2)，E(1,2,0)，M(x，y，z)，＝m(0＜m＜1)，(x－2，y，z－2)＝m(－1,2，－2)，x＝2－m，y＝2m，z＝2－2m，M(2－m,2m,2－2m)，，＝n (0＜n＜1)，N(2n,2n,2－n)，＝(m＋2n－2,2n－2m,2m－n)． MN⊥平面ABCD. ∴解得即存在满足条件的直线MN，且只有一条． 3.解析：以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0，1,0)， ＝(0,1，－1)，＝， 设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)， 则 ∴n1＝(1,2,2)， 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)， ∴cos〈n1，n2〉＝＝. 故所成的锐二面角的余弦值为. 答案： 4.解析：由题意，以C为原点，以AC边所在直线为x轴，以BC边所在直线为y轴，以CC1边所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设棱柱的高为a，由BAC＝，AC＝4，得BC＝4，所以A(4,0,0)，B(0,4，0)，C(0,0,0)，A1(4，0，a)，B1(0,4，a)，C1(0,0，a)，M，P， Q.所以＝(1,2，0)，＝(4,0,0)．设异面直线QP与CA所成的角为θ，所以|cos θ|＝，由|·|＝1×4＋2×0＋0×0＝4，||·||＝×4＝4，得|cos θ|＝＝.由sin2θ＋cos2θ＝1得，sin2θ＝，所以sin θ＝±，因为异面直线所成角的正弦值为正，所以sin θ＝即为所求． 答案： 5．解：(1)证明：由ADCD，ABCD，AD＝AB＝1，可得BD＝. 又BC＝，CD＝2，BC⊥BD. ∵PD⊥底面ABCD，PD⊥BC， 又PD∩BD＝D，BC⊥平面PBD，平面PBD平面PBC. (2)由(1)可知BP