高一数学北师大版必修一第二章4.2二次函数的性质教案.docVIP

4.2　二次函数的性质 教学分析　　　　　 在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合．本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a＞0时函数的单调性进行了证明．与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度．可以而且应该适度综合，适度抽象．高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分．对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜．程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做．对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试． 解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是引起学生思考的重要方法．有些例题，如例3，意在联系实际．但是，编者眼界有限．教师，可以而且应该具有这种意识，自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题． 值得注意的是课上注意组织学生动手，活动，实践．教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”．教师，要创造性地用好它们． 三维目标　　　　　 对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力． 重点难点　　　　　 教学重点：二次函数的性质． 教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题． 课时安排　　　　　 1课时 导入新课　　　　　 思路1.上一节课，我们学习了二次函数的图像，本节课我们来学习二次函数的性质． 思路2.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题． 推进新课　　　　　 ①画出y＝2x2－4x－3的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. ②画出y＝－x2＋4x＋5的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. ③讨论二次函数f?x?＝ax2＋bx＋c?a≠0?图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值. 活动：学生回顾画二次函数图像的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义． 讨论结果：①y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，其图像如图1所示． 图1 观察图像得：开口向上；顶点A(1，－5)；对称轴直线x＝1；在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的；当x＝1时，函数取得最小值－5. ②y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，其图像如图2所示． 图2 观察图像得：开口向下；顶点A(2,9)；对称轴直线x＝2；在(－∞，2]上是增加的，在[2，＋∞)上是减少的；当x＝2时，函数取得最大值9. ③对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c＝a2＋. (1)当a＞0时，其图像如图3所示． 图3 由图像得： 当a＞0时，它的图像开口向上，顶点坐标为，对称轴为x＝－；f(x)在上是减少的，在上是增加的；当x＝－时，函数取得最小值. (2)当a＜0时，其图像如图4所示． 图4 由图像得： 当a＜0时，它的图像开口向下，顶点坐标为，对称轴为x＝－；f(x)在上是增加的，在上是减少的；当x＝－时，函数取得最大值. 下面证明当a＞0时，函数f(x)在上是减少的，在上是增加的． 证明：设a＞0，任取x1、x2，且x1＜x2≤－，则 f(x2)－f(x1)＝(ax＋bx2＋c)－(ax＋bx1＋c) ＝a(x－x)＋b(x2－x1) ＝[a(x2＋x1)＋b](x2－x1)． 因为x1＜－，x2≤－，所以x1＋x2＜－， 即a(x1＋x2)＜－b. 也就是a(x1＋x2)＋b＜0. 又x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＜0， 即f(x2)＜f(x1)． 由函数单调性的定义，f(x)在上是减少的． 同理可证，f(x)在上是增加的． 显然，将f(x)＝ax2＋bx＋c配方成f(x)＝a2＋之后，我们就可以通过a，－和直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图像． 思路1 例1 将函数y＝－3x2－6x＋1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像． 活动：学生回顾思考如何由二次函数的解析式讨论其性质． 解：y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4. 由于x2的系数是负数，所以函数图像开口向下； 图5 顶点坐标为(－1,4)； 对称轴为x＋1＝0(或x＝－1)； 函数在区间(－∞，－1]上是增加的，在区间[－1，＋∞)上是减少的； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是4. 采用描点画图，