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高考(五) 解析几何 A组 1．已知椭圆C：＋＝1(ab0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，点A，B的中点横坐标为，且 (其中λ1)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求实数λ的值． 2．(2015·宝鸡模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(ab0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＋|CD|＝3. (1)求椭圆的方程； (2)求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围． 3．(2015·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝2py(p0)相交于A、B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．B组 1．(2015·南昌模拟) 已知圆E：x2＋＝经过椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线．直线l交椭圆C于M，N两点，且＝λ (λ≠0)． (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程． 2．(2015·哈尔滨模拟)已知曲线C的方程为＋＝4，经过(－1，0)作斜率为k的直线l，l与曲线C交于A、B两点，l与直线x＝－4交于点D，O是坐标原点． (1)当＋＝2时，求证：k2＝； (2)是否存在实数k，使△AOB为锐角三角形？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(ab0)的焦距为2，且过点. (1)求椭圆E的方程； (2)若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M. (ⅰ)设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值； (ⅱ)设过点M，垂直BP的直线为m，求证：直线m过定点，并求出定点的坐标． A组 1．解：(1)由条件可知：c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3， 椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)由，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)． 若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不合题意． 当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y＝k(x－1)． 由消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.① Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)0， 因为 所以x1＋x2＝＝，所以k2＝. 将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，解得x＝. 又因为＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)， (其中λ1)，所以λ＝＝. 2．解：(1)由题意知，e＝＝，则a＝c，b＝c. ∴|AB|＋|CD|＝2a＋＝2c＋c＝3， ∴c＝1. ∴椭圆的方程为＋y2＝1. (2)①当两条弦中有一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知S四边形＝|AB|·|CD|＝×2×＝2. ②当两弦斜率均存在且不为0时， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)． 将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0， ∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝. 同理，|CD|＝＝. ∴S四边形＝·|AB|·|CD|＝··＝＝＝2－. ∵2＋1≥2＋1＝9，当且仅当k＝±1时取等号， ∴S四边形∈. 综合①与②可知，S四边形∈. 3． 解：(1)∵N是C(0，p)关于坐标原点的对称点， ∴N(0，－p)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直线AB的方程为y＝kx＋p， 由得x2－2pkx－2p2＝0. 由根与系数的关系得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2. 于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2|＝p＝p＝2p2， ∴当k＝0时，(S△ABN)min＝2p2. (2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y＝a. 设AC的中点为O′，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H， 则O′H⊥PQ，O′点的坐标为. ∵|O′P|＝|AC|＝＝， |O′H|＝＝|2a－y1－p|， ∴|PH|2＝|O′P|2－|O′H|2＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2＝y1＋a(p－a)， ∴|PQ|2＝(2|PH|)2＝4. 令a－＝0，得a＝，此时|PQ|＝p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y＝. B组 1．解：(1)∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径， ∴AF2⊥F1F2. 由x2＋＝，得x＝±， ∴c＝， |AF2|2