高考大题专项练(四).docVIP

高考(四) 立体几何 A组如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E. 求证：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 2. (2015·昆明模拟)如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形． (1)证明：BC∥EF； (2)求四棱锥F-OBED的体积． 3．(2015·郑州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC＝90°，AD＝2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点． (1)证明：PA∥平面BMQ； (2)已知PD＝DC＝AD＝2，求点P到平面BMQ的距离． B组 1．如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF； (2)求三棱锥M-CDE的体积． 2. 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AD＝EF＝AF＝1，AB＝2. (1)求证：平面AFC⊥平面CBF； (2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由． 3．(2015·九江模拟)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝＝λ. (1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE； (2)当λ为何值时，三棱锥A′-CDE的体积最小，并求出最小体积． A组证明：(1)由题意知，E为B1C的中点， 又D为AB1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C， 所以DE∥平面AA1C1C. (2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所以AC⊥平面BCC1B1. 又因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因为AC?平面B1AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C， 所以BC1⊥平面B1AC. 又因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 2. 解：(1)证明：因为∠AOB＝∠ODE＝60°， 所以OB∥DE.由于∠AOC＝∠ODF＝60°，故OC∥DF. 由于OB∩OC＝O，ED∩FD＝D， 所以平面OBC∥平面DEF. 因为平面BEF∩平面OBC＝BC，平面BEFC∩平面DEF＝EF， 所以BC∥EF. (2)由OB＝1，OE＝2，∠EOB＝60°， 得S△OBE＝×1×2×sin 60°＝， 而△OED是边长为2的正三角形，S△OED＝×4＝， 所以S四边形OBED＝S△OBE＋S△OED＝. 过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由于平面ABED⊥平面ACFD， 所以FQ⊥平面ABED. 所以FQ就是四棱锥F-OBED的高，且FQ＝， 所以VF-OBED＝S四边形OBED·FQ＝××＝.3．解：(1)如图，连接AC交BQ于N，连接MN，因为∠ADC＝90°，BC＝AD，Q为AD的中点，所以N为AC的中点． 又M为PC的中点，即PM＝MC，则MN为△PAC的中位线， 故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ. (2)由(1)可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以VP-BMQ＝VA-BMQ＝VM-ABQ， 取CD的中点K，连接MK，所以MK∥PD，MK＝PD＝1， 又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD. 又BC＝AD＝1，PD＝CD＝2，所以AQ＝1，BQ＝2，MQ＝，NQ＝1， 所以VP-BMQ＝VA-BMQ＝VM-ABQ＝··AQ·BQ·MK＝，S△BMQ＝， 则点P到平面BMQ的距离d＝＝. B组 1．解：(1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD， 又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD， ∵PD?平面PCD，CD?平面PCD，且PD∩CD＝D， ∴AD⊥平面PCD， ∵CF?平面PCD，∴AD⊥CF， 又MF⊥CF，MF∩AD＝M，∴CF⊥平面MDF. (2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD， 又CD＝AB＝1，PC＝2，∴PD＝. 由(1)知CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF. ∴由S△PCD＝PD×CD＝PC×DF得DF＝. ∴CF＝＝， ∵EF∥CD，∴＝，∴D