（课件） 4.1 角平分线.pptVIP

义务教育教科书（北师大版）八年级数学下册 第一章 三角形的证明 什么叫角平分线？ 角平分线上的点有什么性质？ 你是怎样得到的？ 你能证明吗？ A B C 角平分线性质定理的逆命题是什么？是真命题吗？你能证明吗？（请写出已知、求证、证明）  定理： 已知:如图，OC是∠AOB的平 分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 O C B 1 A 2 P D E O C B 1 A 2 P D E 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°， ∵ ∠1＝∠2，PO＝PO， ∴△PDO≌△PEO（AAS）． ∴　PD＝PE（全等三角形的对应边相等）． 已知:如图，OC是∠AOB的平 分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE 1定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离_____。 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵OC是∠AOB的平分线, , , (已知) ∴PD=PE( ). O C B 1 A 2 P D E 几何语言 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 你能写出这个定理的逆命题吗？ 想一想 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）． 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ QD＝QE（已知）， QO＝QO（公共边）， ∴△QDO≌△QEO（HL）． ∴　∠QOD＝QOE（全等三角形的对应角相等）． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 ___的点,在这个角的 上. 如图, ∵PD=PE, , ___ (已知), ∴点P在∠AOB的平分线上( ). 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. O C B 1 A 2 P D E 几何语言 例1 已知:如图,在△ABC中,点D在BC上，AD=10，且DE=DE,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求DE的长. A B C D E F 小组合作完成。 1.动手用尺规画出一个角的平分线；2.说明为什么是角平分线的理由。 如何作角的平分线？ 想一想 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. A B O C D E 用尺规作角的平分线. 1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD= . 2.分别以点D和E为圆心,以大于_ _长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. 3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 作法： 1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE_______PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP_____∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=______ ，则PE=__________. = = 1 4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度. 5.如图（5），已知：OM是角POQ的平分线，MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△QOM=3 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm. 90° 2 6.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于（ ） A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 7.如下图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF ②△BDF≌△CDE ③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（ ） A.只有① B.只有② C.只有①和② D.①、②与③ B D 1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2.在一个角的内部,且到角的两边距离 ___的点,在这个角的 上.