分离变的量法.pdf

第二章 分离变量法 第二章 分离变量法 分离变量法又称 Fourier 级数方法，而在 波动方程情形也称为驻波法。它是解决 数学物理方程定解问题中的一种基本方 法，这个方法建立在叠加原理的基础 上，其基本出发点是物理学中的机械振 动或电磁振动总可分解为一些简谐振动 的叠加。 思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。 思想：把偏微分方程的求解问题转化为常微分方程的求解。 1 第一节 有界弦的自由振动 ⎧∂2u 2 ∂2u a x l t ⎪ 2 2 , ∈(0, ), 0 ⎪⎪∂t ∂x u x x u x x x l ⎨ ( ,0) ϕ( ), t ( ,0) ψ( ), ∈[0, ] ⎪ u t u l t t ⎪ (0, ) ( , ) 0, ≥0 ⎪⎩ 物理解释： 物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在没有强迫外力作用下的振动 2 • 求解的基本步骤 第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解 u(x,t) X (x)T (t) 把变量形式的解代入方程可得 把变量形式的解代入方程可得 ′′ 2 ′′ X T a X T 即 即 ′′ ′′ T (t) X ( x) 2 a T (t ) X (x) 以及 以及 3 X (0)T (t) X (l)T (t) 0 上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可 上述等式左端是t 的函数，右端是x 的函数，由此可 得两端只能是常数，记为 得两端只能是常数，记为−λ. 从而有 从而有 X ′′(x ) +λX (x ) 0 ⎧ X (x): ⎨ X (0) X (l ) 0 ⎩ 本征值问题 ′′ 2 T(t): T (t) +a λT (t) 0 4 第二步：求本征值和本征函数 X (x) ，以及 T(t) 的表达式