12.2_可分离变量微分方程.ppt

函数与极限 第二节 分离变量方程的解法: 例1. 求微分方程 例2. 解初值问题 例3. 求下述微分方程的通解: 练习: 例4. 例5. 例6. 有高 1m 的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 内容小结 备用题1 已知曲线积分 备用题2 * * 转化 可分离变量微分方程 可分离变量方程 设 y＝? (x) 是方程①的解, 两边积分, 得 ① 则有恒等式 ② 当G(y) 与F(x) 可微 G’(y) ＝g(y)≠0,时, 由②确定的隐函数 y＝?(x) 是①的解. 则有 称②为方程①的隐式通解, 或通积分. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 上述过程可逆, 由②确定的隐函数 x＝?(y) 也是①的解. 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 解法 1 分离变量 即 ( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 子的含量 M 成正比, 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 建模: 相关变量, 有: (初始条件) 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原 时间 铀含量 问题, 求: 条件: 解: 根据题意, 有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: M 成正比, 求在衰变过程中铀含 量M(t) 随时间 t 的变化规律. 已知 t = 0 时铀的含量为 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 例4. 成正比, 求 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. 建模: 相关变量, 有: (初始条件) 时间, 下落速度 问题, 求: 条件: 根据牛顿第二定律 力 解: 根据牛顿第二定律列方程 初始条件为 对方程分离变量, 然后积分 : 得 利用初始条件, 得 代入上式后化简, 得特解 t 足够大时 成正比, 求 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. 例5. 开始时容器内盛满了水, 从小孔流出过程中, 水面的高度 h 随时间 t 的变化规律. 求水 小孔横截面积 建模, 相关变量, 有: 时间, 体积 问题, 求: 条件分析: 高度 由水力学知, 水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 即 (1) 重力加速度 解: 设在 内水面高度由 h 降到 对应下降体积 (1) (2) 综合(1)与(2)式, 得: 微量分析 列方程 因此得微分方程定解问题: 将方程分离变量: 两端积分, 得 利用初始条件, 得 因此容器内水面高度 h 与时间 t 通解 有下列关系: 1. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 ) 3) 根据微量分析列方程 ( 如: 例6 ) 2. 解微分方程应用题的方法和步骤 (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 作业 P 269 1(1)(5)(7)(10); 2 (3)(4) ; 4 ; 5 课堂练习 课堂练习参考答案 课堂练习参考答案 与路径无关, 其中 求由 确定的隐函数 解: 因积分与路径无关 , 故有 即 因此有 * *