任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳詳解.doc

●高考明方向 1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题． 2.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用． 3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题. (1)分类 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，kZ}. 《名师一号》P47 对点自测 1、2 注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2 相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 角的表示形式是唯一的吗？ 角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，kZ}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，kZ}．下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． x轴非负半轴上的角 {x|x＝2kπ，k∈Z}x轴非正半轴上的角 {x|x＝2kππ，k∈Z}x轴上的角 {x|x＝kπ，k∈Z}{x|x＝2kπ，k∈Z}{x|x＝2kπ，k∈Z}{x|x＝kπ，k∈Z}(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；弧长公式：l＝|α|r；扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2 《名师一号》P47 对点自测 3 注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3 在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的，不可混用． 为底，为高） 知识点三 任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． 2、各象限角的三角函数值符号规律： (补充)关键：立足定义 正弦……一二正，横为零 余弦……一四正，纵为零 正切……一三正，横为零，纵不存在 3、特殊角的三角函数值（自己课后完成） 知识点三 任意角的三角函数 (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 如何利用三角函数线解不等式及比较三角函数值的大小？ (1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期． (2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较大小，应注意三角函数线的有向性． （一) 角的表示及象限角的判定 例1.《名师一号》P48 高频考点 例1 (1)写出终边在直线y＝x上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求所在的象限． 【思维启迪】　(1)角的终边是射线，应分两种情况求解． (2)把α写成集合的形式，从而的集合形式也确定． (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋，kZ}，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2kπ＋π，kZ}， 故所求角的集合为{α|α＝2kπ＋，kZ}∪{α|α＝2kπ＋π，kZ} ＝{α|α＝kπ＋，kZ}． (2)2kπ＋πα2kπ＋π(kZ)， kπ＋kπ＋π(kZ)． 当k＝2n(nZ)时，2nπ＋2nπ＋π，是第二象限角， 当k＝2n＋1(nZ)时，2nπ＋2nπ＋π，是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，是第二或第四象限角． 注意: (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断． (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ (1)设圆心角是θ，半径是r， 则?(舍)， 故扇形圆心角为. (2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r) ＝－(r－10)2＋100≤100， 当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大． 注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法 1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，