第二章模糊集合.ppt

定理2-3 令A为模糊集合，α、β∈[0,1]且α≤β，则 。 证明：对于任意的 ，可得 ≥β ∵α≤β ∴ ≥α 可得 。反方向可举出反例。 定理2-4 令λ∈[0，1]，I为其下标集合，Ai为模糊集合，其中i∈I，则有： ① ② 证明①：对于任意x0∈ ，在下标集合I中必存在某一元素i0，使得 x0∈ 。由截集定义知 ≥λ，从而得 ≥λ，即 ≥λ，故得x0∈ ,因此式①成立。 用类似的方法可证明式②。 * 例2－25 设Ai为论域X中的无数个模糊集合，这里的i为正整数。记模糊集合 A = ( ) (定理2-4式①左边)，令A I 的截集之并集(定理2－4式①右边)为 B = 若A i 的隶属函数为Ai(x)=(0.5( i-1))/ i。这不难推出A(x)= 0.5。这说明论域X中的任何元素对于模糊集合A的隶属度均为0.5，故有A 0.5 = X，即λ=0.5时，A i 之并的截集包含了论域中的所有元素。 现在考虑定理2－4式①右边的情况。显然对于任意正整数i， (A i)0.5 =φ，故有B 0.5 =φ。这说明当λ=0.5时，Ai 的λ截集之并不包含论域中的任何元素。 由以上两方面的讨论得A 0.5≠B 0.5 。 * 几个概念 定义2-15 设A为论域X中的模糊集合，定义： ① A的“核”为：Ker A={x | A(x)=1}(注，Ker为Kernel的缩写)； ② A的“支集”为：Supp A={x | A(x) 0}(注，Supp为Support的缩写)； ③ 若Ker A ≠φ，则称A为“正规模糊集”。 2.5 模糊集合代数运算 什么是模糊集合的代数运算 对相应的隶属函数进行特定的运算，并且由此得到新的隶属函数，从而确定出新的模糊集合 。 模糊集合之间的基本关系 定义2-16 令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素x： ①A =φ，当且仅当 ≡ 0；A = X，当且仅当 ≡1。 ②A包含于B内，当且仅当 ≤ 。 ③A与B相等，当且仅当 = 。 * 模糊集合的基本运算 定义2-17 令A、B为论域X中的模糊集合，对于任意X中的元素x： ① A与B之“并集”记为 A∪B = (A(x)∨B(x))／x 即模糊集合A∪B的隶属函数 = max ( , ) 记作 ∨ 或 A(x)∨B(x)。 ② A与B之“交集”记为 A∩B = (A(x)∧B(x))／x 即模糊集合A∩B的隶属函数 = min ( , ) 记作 ∧ 或 A(x)∧B(x)。 ③ A的“补集”(又称“余集”)记为 ~ A = (1－A(x))／x 即模糊集合~A的隶属函数 ＝1－ 或记为1－A(x) 。 模糊集合并、交运算还可以推广至任意多个 设A i为模糊集合，且 i∈I(I为某种下标集合)，则有： ① 令A = ，则定义： = ； ② 令A = ，则定义： = 。 * 模糊集合的运算性质 交换律：A∪B = B∪A； A∩B = B∩A。 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)=