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定理2-3 令A为模糊集合,α、β∈[0,1]且α≤β,则 。 证明:对于任意的 ,可得 ≥β ∵α≤β ∴ ≥α 可得 。反方向可举出反例。 定理2-4 令λ∈[0,1],I为其下标集合,Ai为模糊集合,其中i∈I,则有: ① ② 证明①:对于任意x0∈ ,在下标集合I中必存在某一元素i0,使得 x0∈ 。由截集定义知 ≥λ,从而得 ≥λ,即 ≥λ,故得x0∈ ,因此式①成立。 用类似的方法可证明式②。 * 例2-25 设Ai为论域X中的无数个模糊集合,这里的i为正整数。记模糊集合 A = ( ) (定理2-4式①左边),令A I 的截集之并集(定理2-4式①右边)为 B = 若A i 的隶属函数为Ai(x)=(0.5( i-1))/ i。这不难推出A(x)= 0.5。这说明论域X中的任何元素对于模糊集合A的隶属度均为0.5,故有A 0.5 = X,即λ=0.5时,A i 之并的截集包含了论域中的所有元素。 现在考虑定理2-4式①右边的情况。显然对于任意正整数i, (A i)0.5 =φ,故有B 0.5 =φ。这说明当λ=0.5时,Ai 的λ截集之并不包含论域中的任何元素。 由以上两方面的讨论得A 0.5≠B 0.5 。 * 几个概念 定义2-15 设A为论域X中的模糊集合,定义: ① A的“核”为:Ker A={x | A(x)=1}(注,Ker为Kernel的缩写); ② A的“支集”为:Supp A={x | A(x) 0}(注,Supp为Support的缩写); ③ 若Ker A ≠φ,则称A为“正规模糊集”。 2.5 模糊集合代数运算 什么是模糊集合的代数运算 对相应的隶属函数进行特定的运算,并且由此得到新的隶属函数,从而确定出新的模糊集合 。 模糊集合之间的基本关系 定义2-16 令A、B为论域X中的模糊集合,对于任意X中的元素x: ①A =φ,当且仅当 ≡ 0;A = X,当且仅当 ≡1。 ②A包含于B内,当且仅当 ≤ 。 ③A与B相等,当且仅当 = 。 * 模糊集合的基本运算 定义2-17 令A、B为论域X中的模糊集合,对于任意X中的元素x: ① A与B之“并集”记为 A∪B = (A(x)∨B(x))/x 即模糊集合A∪B的隶属函数 = max ( , ) 记作 ∨ 或 A(x)∨B(x)。 ② A与B之“交集”记为 A∩B = (A(x)∧B(x))/x 即模糊集合A∩B的隶属函数 = min ( , ) 记作 ∧ 或 A(x)∧B(x)。 ③ A的“补集”(又称“余集”)记为 ~ A = (1-A(x))/x 即模糊集合~A的隶属函数 =1- 或记为1-A(x) 。 模糊集合并、交运算还可以推广至任意多个 设A i为模糊集合,且 i∈I(I为某种下标集合),则有: ① 令A = ,则定义: = ; ② 令A = ,则定义: = 。 * 模糊集合的运算性质 交换律:A∪B = B∪A; A∩B = B∩A。 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C; A∩(B∩C)=
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