第一章朴素集合论解析.ppt

前言 　　拓扑学研究的对象就是高度抽象了的这些数学空间的具有最基础结构的空间。它们只具有最基本的数学要求：开集。我们把这样的空间称为拓扑空间。 （1）熟练掌握证明集合运算的常用方法。 （3） 证明某个命题，要证到什么程度才算证完，要心中有数。证明的开头应如何写？ 第1章　集合论初步 §1．1集合的基本概念 §1．3关系 §1．4 等价关系 §1．5 映射 §1．6 集族及其运算 §1.7可数集，不可数集，基数 基 数 定义1.5.5 设　　　　　是n＞0个集合，1≤i≤n．从笛卡儿积　　　　　　　　到它的第i个坐标集　的投射（或称第i个投射）　：X→　定义为对于每一个 投射、自然投射 定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系． 从集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X→X/R定义为对于每一个x∈X，p（x）=　　． 作业:熟练掌握本节的所有定义与定理 注意定理1.3.2(2)与定理1.5.2的区别 熟练记忆P.23 习题1. 2 与定理1.5.2 复习 1、等价关系 集合X中的一个关系如果同时是自反，对称，和传递的，则称为集合X中的一个等价关系． i)关系R是自反的 △(X)　R， 对于任何x∈X，有xRx； ii)关系R是对称的 R=R-1 对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx； iv)关系R是传递的 R　R　R， 任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz． 2、等价类、商集 1）对于每一个x∈X，x的R等价类　　 [x]= {y∈X|yRx} 3）集合X相对于等价关系R而言的商集 X／R＝ {　　| x∈X} 定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系． 则：(1)如果x∈X，则x∈　　，因而　　　　； 　　(2)对于任意x，y∈X，或者　　=　　，或者 4）、等价类的性质 3、 映射 1）、定义 f：X→Y是一个映射 对于每一个x∈X存在唯一 的一个y∈Y使得xfy. f:X→Y是一个满射 f（X）=Y f:X→Y是一个单射 定理1．5．2 设X和Y是两个集合，f: X→Y． 如果A，B　Y，则 　　（1）　（A∪B）＝　（A）∪　（B）； 　　（2）　（A∩B）＝　（A）∩　（B）； 　　（3）　（A-B）＝ 　（A）- 　（B）． 2）、性质 映射的原象保持集合的并，交，差运算． 映射的象的并，交，差运算． P23习题1，2. 定理1.5.3 设X和Y是两个集合．又设f:X→Y． 如果f是一个一一映射，则　 便是一个从 Y到X的映射（因此我们可以写　 ：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有： 　　　　　　　和　　　　　 定理1.5.3 及 P23习题3、9 投射、自然投射 定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F：X→Y(读做F是从X到Y的一个映射)．(记住这个记号).对于每一个x∈X，使得xFy的唯一的那个y∈Y称为x的象或值，记作F（x）；对于每一个y∈ Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），则称x是y的一个原象．（注意：y∈Y可以没有原象，也可以有不止一个原象．） 　　由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么： （1）对于任何A　X，象F（A）有定义，并且 F(A)={F(x)|x∈A} 象、原象、复合、逆、定义域、值域 (2) 对于任何B　Y，原象　（B）有定义，并且　 （B）={x∈X|F(x)∈B} (注意: 　 (x)与 　 ({x})的异同,前者不一定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合) （3）如果Z也是一个集合并且G：Y→ Z，则关系的复合G　F作为一个从X到Z的关系有定义； (4) 　作为从 Y到X的一个关系有定义，但一般说来　不是一个从Y到X的映射(这要看F是否是一一映射)； （5）F的定义域有定义，并且它就是X；(意味着X中的每个元素都必须有象) （6）F的值域有定义，并且它就是F（X）．(F(X) 不一定充满Y) 定理 1.5.1 设 X， Y和Z都是集合．如果 F：X→Y和G：Y→Z，则G　F：X→Z；并且对于任何x∈X，有 　　　　G　F（x）＝G(F(x)) (这实际上是映射的积的本质) 　　今后我们常用小写字母f，g，h，……表示映射． 定义1．5．3 设X和Y是两个集合，X→Y．如果Y中的每一个点都有原象