第一节氢原子的薛定谔方程解析.ppt

第二章 氢原子与原子结构 Hydrogen Atom and structure of Atom 第一节 氢原子的薛定谔方程及其解 Equation of Schr?dinger to Result of Hydrogen Atom 一、直角坐标与球极坐标 A right angle coordinate and sphere Coordinate 二、氢原子的薛定谔方程 Equation of Schr?dinger of hydrogen atom 三、薛定谔方程的解 Result for Schr?dinger equation * 第一节 氢原子的薛定谔方程及其解 第二节 对薛定谔方程解的讨论 第三节 氦原子 第四节 Slater原子轨道 一、直角坐标与球极坐标 二、氢原子的薛定谔方程 三、薛定谔方程的解 原子结构问题是微观世界的问题第一章的讨论中我们知道，用量子力学方法处理微观体系的基本步骤是： 提出物理模型 建立波动方程 求解波动方程 微观体系 根据体系的特点 根据物理模型 根据方程 及条件 波函数ψ 能 级 E 探讨研究微观体系的性质 我们知道，原子是由原子核及核外电子构成的。其中，氢原子是结构最简单的一种原子。 我们还知道，原子核在氢原子的中央，电子在核外运动的概率密度呈球状。这样，用空间直角坐标系描述核外运动电子在某点的定位，显得不如球坐标方便。 Descartes.Rene （1596-1650） 法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。 相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的直角反射坐标系，称为空间直角坐标系又之称为笛卡尔空间直角坐标系。 1.直角坐标系 Z Y X 0 直角坐标系 （x，y，z ） 对于空间某点 P，在空间直角坐标系中可由三个坐标点（x，y，z）确定。即： P x z y 2.球极坐标系 尽管用直角坐标对空间某点进行定位表述简便，但对在球状空间运动某点的定位，却显得不便。 于是人们通过坐标换算，建立了球极坐标、椭球坐标等系。例如，对于空间某点 P 的位置，用球极坐标可表示如下： Z Y X 0 P x z y r θ φ 球极坐标系 r （r,θ,φ） x y z 0 r — 0 → ∞ θ — 0 →π φ — 0 →2π 取值范围 r θ φ Z Y X 0 P x z y r θ φ 球极坐标与直角坐标 r （r,θ,φ） （x，y，z） 3.球极坐标与直角坐标的关系 即： cosθ= = 斜 邻 z = rcosθ 在直角三角形⊿0Pz中： r z 邻 斜 同理，在直角三角形⊿0Bx中： cosφ= = 斜 邻 0B x B x = OB cosφ 对 = = sinθ= 斜 对 由于，直角三角形⊿0Pz中： r zP r 0B 0B = rsinθ x = 0B cosφ= rsinθcosφ 则： sinφ= = y 0B 斜 对 y = OB sinφ = r sinθ sinφ 则： 在直角三角形⊿0Bx中： B 对 斜 Z Y X 0 x z y r θ φ 球极坐标与直角坐标 r （r,θ,φ） （x，y，z） P 根据勾股定律得知： OB2 = x2 + y2 r2 = OB2 + z2 （三角形⊿0Bx） （三角形⊿0By） r =(x2 + y2 + z2)1/2 勾 股 玄 则： 即： x = rsinθcosφ y = rsinθ sinφ z = rcosθ r =(x2 + y2 + z2)1/2 1.波动方程 Hψ= Eψ （Hamiltonian operator） H ≡ - ▽2 + V h2 8π2m 其中： = - ▽2 + V 2m ?2 T = - ▽2 （Laplacian operator） ?2 2m （Kinetic energy operator） V = V （Potential energy operator） ▽2 ≡ + + ?x2 ?2 ?y2 ?2 ?z2 ?2 + - r 双质点体系模型 2.H原子 如右图所示，氢原子可看成是由1个原子核及1个核外电子构成的“双质点”体系；原子核与核外电子只存在静电吸引势能。 电子动能项 建立氢原子的波动方程，关键是找出其波动方程 Hamiltonian 算符的具体形式。 由其“双质点”体系模型中不难看出，其 Hamiltonian 算符应包含原子核及核外电子两种微粒动能算符和势能算符。