非稳态热传导精要.ppt

高等传热学 非稳态热传导(三) 格林函数法在非稳态导热中的应用 影响物体中的温度变化的因素 内热源 边界的热作用 初始温度分布 广义热源 从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。 格林函数法在非稳态导热中的应用 从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。 热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为“点热源”、“线热源”和“面热源”。 “瞬时点热源”：瞬时作用于某个点的热源 各种热源都可以看作是许多瞬时点热源的集合，即把空间中连续分布的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源； 把时间上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源。 格林函数法在非稳态导热中的应用 非稳态导热问题求解思路：各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场的叠加得到，数学上即成为某种积分，这就是热源法，或称格林函数法。 在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green ）函数 采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程 格林函数法在非稳态导热中的应用 “瞬时”和“点”源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）δ分布函数，简称δ函数，单位脉冲函数来表示。各函数的定义为: δ函数具有以下性质： 格林函数法在非稳态导热中的应用 空间变量的三维δ函数 在直角坐标系中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即 时刻作用在空间某一点 强度在数量上等于ρc[J]的 瞬时点热源可写作 = 格林函数法在非稳态导热中的应用 其中自变量的第一部分表示该温度分布是空间坐标r 和时间τ的函数，第二部分 表示瞬时点热源的位置和释放的时间。 格林函数所对应的瞬时点热源的强度规定为 ρc[J/(m3·℃)] × 1 m3 × 1℃=ρc[J], 也就是使单位体积的介质温度升高1 ℃ 所需的热量。 在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green ）函数: 格林函数法在非稳态导热中的应用 初始温度分布F(r)在微元体积dV 中所对应的热量等于ρcF(r)dV ，因此它就等价于一个在τ＝0时刻的瞬时分布热源qv(r，τ)＝ρcF(r)δ（τ －0） 大平壁中的非稳态导热 设一维平壁有初始温度分布F（x）对和内热源qv(x，τ)＝ρcg(x,τ)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f(τ)的作用。该问题的数学描述为 大平壁中的非稳态导热 首先考察该导热系统的辅助问题：瞬时点热源引起的温度分布，即格林函数G ，它满足以下条件： 大平壁中的非稳态导热 时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为0，而 时刻的瞬时热源的作用等同于 时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为 大平壁中的非稳态导热 用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为 系数 可以由 时的“初始”条件确定，即 把 展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，得到 ，m = l，2，… 大平壁中的非稳态导热 即格林函数为 将所有的瞬时点热源产生的温度分布（格林函数）叠加，就能获得原导热问题的解。 大平壁中的非稳态导热 在τ时刻内热源引起的温度分布tl 应为在此前所有的瞬时点热源, 的作用的叠加 内热源： 大平壁中的非稳态导热 初始温度分布F(x)的影响可以看作是在 时刻， 在各微元体积 有瞬时热源 的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布 t2 ， 初始温度分布： 大平壁中的非稳态导热 边界热流f(τ)的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源 的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布t3 应为 边界热流： 大平壁中的非稳态导热 总的热源=内热源+初始温度分布+边界热流： 无限大物体中的非稳态导热 根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题： 或等价于以下齐次的问题： 无限大物体中的非稳态导热 用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中引起的温度分布是 容易证明以上函数满足齐次导热方程和边界条件。这一温度分布函