非线性规划()精要.ppt

无约束问题的最优性条件 （P1） Min f(X) X ? En 定理3（二阶充分条件） 设f(X)在X*点二阶可微，如果?f(X*) =0 和 H(X*)为正定，则X*为(P1) 的一个局部最优解。（ H(X)在X*的邻域内为半正定。 无约束问题的最优性条件 （P1） Min f(X) X ? En 定理4（一阶充分条件） 设f(X)为En上的凸函数，又设f(X)在X*点可微，如果?f(X*) =0 ，则X*为(P1) 的一个整体最优解。 例6-2 Min f(X)=（x2-1)3 X ? E1 解：利用一阶必要条 件求出有可能成为最 优解的那些点: ?f(X) = 6x(x2-1)2 =0 得到：x1=0,x2=1,x3= -1 进一步考虑二阶必要条件，缩小范围： H(X) =?xxf(X) = 6(x2-1)2+24 x2(x2-1) H(x1) =?xxf(x1) = ?xxf(0) =60 H(x2) =?xxf(x2) = ?xxf(1) = 0 H(x3) =?xxf(x3) = ?xxf(-1) =0 f(X)在x1=0点正定，依二阶必要条件， x1=0为（P1）的局部最优解。而x2=1， x3= -1满足二阶必要条件和一阶必要条件，但它们显然都不是最优解。 例6-3 Min f(X)= 2x12+5x22+x32+ 2x2x3 + 2x1x3 - 6x2+3 X ? E3 解：?f(X) = （4x1+ 2x3, 10x2+ 2x3 – 6, 2x1+ 2x2 + 2x3 ）=0 驻点x*=(1,1,-2) H(X) =?xxf(X)= 4 0 2 0 10 2 2 2 2 H(X) =?xxf(X)= 4 0 2 0 10 2 2 2 2 各阶主子式：40, 4 0 0 10 =400 4 0 2 0 10 2 2 2 2 =240 H(X)正定， X*=(1,1,-2)为最优解。 f(X*)=0 解无约束问题的算法： 求f(X)的驻点X*，若是凸函数，得到最优解。否则，转下一步。 在驻点X*处，计算H(x)。 根据H(x)来判断该驻点X*是否是极值点。 * * * * 第六章 非线性规划 1 引 言 非线性规划是运筹学中包含内容最多，应用最广泛的一个分支，计算远比线性规划复杂，由于时间的限制，只能作简单的介绍。 例6-1 电厂投资分配问题 水电部门打算将一笔资金分配去建设n个水电厂，其库容量为ki,i=1,2….n,各 电厂水库径流输入量分布为Fi(Q)，发电量随库容与径流量而变化，以Ei(ki,Q)表示。计划部门构造一个模型，即在一定条件下，使总发电量年平均值最大，用数学语言来说，使其期望值最大。对每个电厂i ，其年发电量的期望值为 ?Ei(ki,Q) dFi(Q) 设V为总投资额，Vi为各水电厂的投资， 都是ki的非线性函数，构造非线性规划模型如下： Max ? ?Ei(ki,Q) dFi(Q) s.t.V1(k1)+ V2(k2)+…… + Vn(kn)=V V1(k1), V2(k2),……,Vn(kn) ? 0 利用一定的算法，可求出最优分配ki*和Vi *(i=1,2,….n). 主要内容 非线性规划 理论方面 应用方面 算法方面 互补稳定灵敏 对偶问题 最优性条件 无约束问题 直接法 有约束问题 间接法 一般模型 Min f(X) s.t. hi(X) = 0 (i=1,2,….m) （P） gj(X) ? 0 (j=1,2….l) X ? En f(X) hi(X) gj(X) 为En上的实函数。 几个概念 定义1 如果X满足（P）的约束条件 hi(X)=0