非线性课件精要.ppt

* 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所熟悉的柯布-道格拉斯生产函数: 就是一例。 在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。 第四节 非线性关系的处理 一、 线性模型的含义 线性模型的基本形式是: 其特点是可以写成每一个解释变量和一个系数相乘的形式。 线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以X2或Xβ之 类的函数形式出现在模型中。 （2）参数的线性 因变量Y是各参数的线性函数。 对于线性回归分析，只有第二种类型的线性才是重要的，因为变量的非线性可通过适当的重新定义来解决。例如，对于 此方程的变量和参数都是线性的。如果原方程的扰动项满足高斯—马尔可夫定理条件，重写的方程的扰动项也将满足。 二、线性化方法 参数的非线性是一个严重得多的问题，因为它不能仅凭重定义来处理。可是，如果模型的右端由一系列的Xβ或eβX项相乘，并且扰动项也是乘积形式的，则该模型可通过两边取对数线性化。 例如，需求函数 其中，Y=对某商品的需求 X=收入 P=相对价格指数 ν=扰动项 可转换为： 用X,Y,P的数据，我们可得到logY,logX和logP,从而可以用OLS法估计上式。 logX的系数是β的估计值，经济含义是需求的收入弹性，logP的系数将是γ的估计值，即需求的价格弹性。 [注释] 弹性（elasticity）：一变量变动1%所引起的另一变量变动的百分比： 需求的收入弹性：收入变化1%，价格不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。 需求的价格弹性：价格变化1%，收入不变时，所引起的商品需求量变动的百分比。 例1 需求函数 本章§1中，我们曾给出一个食品支出为因变量，个人可支配收入和食品价格指数为解释变量的线性回归模型例子。现用这三个变量的对数重新估计（采用同样的数据），得到如下结果（括号内数字为标准误差）： 回归结果表明，需求的收入弹性是0.64,需求的价格弹性是0.48，这两个系数都显著异于0。 三、例子 例2．柯布-道格拉斯生产函数 生产函数是一个生产过程中的投入及其产出之间的一种关系。著名的柯布-道格拉斯生产函数（C-D函数）为 用柯布和道格拉斯最初使用的数据（美国1899-1922年制造业数据）估计经过线性变换的模型 得到如下结果： 从上述结果可以看出，产出的资本弹性是0.23，产出的劳动弹性为0.81。 例3．货币需求量与利率之间的关系 M = a(r - 2)b 这里，变量非线性和参数非线性并存。 对此方程采用对数变换 logM=loga+blog(r-2) 令Y=logM, X=log(r-2), β1= loga, β2=b 则变换后的模型为： Yt=β1+β2Xt + ut 将OLS法应用于此模型，可求得β1和β2的估计值 从而可通过下列两式求出a和b估计值： 应当指出，在这种情况下，线性模型估计量的性质（如 BLUE,正态性等）只适用于变换后的参数估计量 ，而不一定适用于原模型参数的估计量 和 。 例4．上例在确定货币需求量的关系式时，我们实际上给模型加进了一个结束条件。根据理论假设，在某一利率水平上，货币需求量在理论上是无穷大。我们假定这个利率水平为2%。假如不给这一约束条件，而是从给定的数据中估计该利率水平的值，则模型变为： M = a(r - c)b 式中a,b,c均为参数。仍采用对数变换，得到 log(Mt) = loga + blog(rt - c) + ut t=1,2,…,n 我们无法将log(rt-c)定义为一个可观测的变量X, 因为这里有一个未知量c。也就是说，此模型无法线性化