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附录B: 向量及其运算 二、向量的线性运算 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 六、两向量的数量积 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 七、两向量的向量积 六、两向量的数量积 一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量。 1、向量 向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示。 向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示。 2、向量的表示法 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量。 3、自由向量 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 。 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是相等的, 记为a=b。 相等的向量经过平移后可以完全重合。 4、向量的相等 5、向量的模 向量的大小叫做向量的模。 6、单位向量 模等于1的向量叫做单位向量。 7、零向量 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的。 模等于 0 的向量叫做零向量 , 记作 0 或 ? 0 . 设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b. 1、向量的加法 c=a+b 三角形法则 平行四边形法则 （1）向量的加法的运算规律 ①交换律a+b=b+a; ②结合律(a+b)+c=a+(b+c). （3）向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a). （2）负向量 （4）三角不等式 |a+b|?|a|+|b|, |a-b|?|a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立。 与向量a的模相等而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-a. 当?=0时, |?a|=0, 即?a为零向量. 向量a与实数?的乘积记作?a, 规定?a是一个向量, 它的模|?a|=|?||a|, 它的方向当?0时与a相同, 当?0时与a相反。 2、向量与数的乘法 当?=-1时, 有(-1)a =-a. 当?=1时, 有1a=a; 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体? 有 三、空间直角坐标系 向量的坐标分解式 向量的坐标分解式 上式称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量? 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系 任给向量r? 存在点M及xi、yj、zk? 使 有序数x、y、z称为向量r的坐标? 记作r?(x? y? z)? 有序数x、y、z也称为点M的坐标? 记为M(x? y? z)? 提示： a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, ?a =(?ax)i+(?ay)j+(?az)k. 设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则 ?a=(?ax, ?ay, ?az). a?b=(ax?bx, ay?by, az?bz), 1、向量的模与两点间的距离公式 按勾股定理可得 有 |OP|?|x|? |OQ|?|y|? |OR|?|z|? 于是得向量模的坐标表示式 设向量r?(x? y? z)? 作? 则 设有点A(x1? y1? z1)和点B(x2? y2? z2)? 则 ?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1) ?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)? 于是点A与点B间的距离为 例：已知两点A(4? 0? 5)和B(7? 1? 3)? 求与 方向相同的 单位向量e? 解 2、方向角与方向余弦 （1）两个向量的夹角 当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的