高等数学(同济六版)高阶导数精要.ppt

第三节 一、高阶导数的概念 二、 高阶导数求法举例 例2. 例3. 设 例5. 设 例6 . 设 例7. 设 二、高阶导数的运算法则 例8. 例9. 设 内容小结 思考与练习 2. (填空题) (1) 设 3. 试从 备用题 * * 二、高阶导数的运算法则 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 问题:变速直线运动的加速度. 定义 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 例1 解 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 设 求 解: 依次类推 , 思考: 设 问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例4. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 一般地 , 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及 设函数 推导 目录 上页 下页 返回 结束 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 即 用莱布尼兹公式求 n 阶导数 令 得 由 得 即 由 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用高阶导数公式 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 提示: 令 原式 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 提示: 各项均含因子 ( x – 2 ) (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示: 则当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导出 解： 同样可求 作业 习题2.4 P66 1 (3) , (5) ,(10); 5 (2) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解: 设 求 其中 f 二阶可导. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 练 习 题 * * 运行时, 点击“莱布尼兹(Leibuniz)公式” 或“推导“按钮可显示莱布尼兹公式的简单推导, 演示完毕自动返回. * *