高等数学A(函数连续性)精要.ppt

1.7 函数的连续性 定义2 并不是每一个函数都有最值. 定理6(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定能取得它的最大值和最小值. 四、闭区间上连续函数的性质 此定理的证明要用实数理论, 从略. 图示说明如下 注意: 定理条件为充分条件, 条件缺一不可, 否则可能没有最值. 定理7(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证明： 由连续函数最大最小值定理 证明： 故 f(x) 在 [a,X] 上有最大值 M 与最小值 m . 定理8(零点定理) 几何解释: 定义3 此定理的证明要用实数理论, 从略. 定理9(介值定理) 证明: 由零点定理得, 至少存在一点 推论: 闭区间上的连续函数 f(x) 必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值. 证明： 由介值定理, 闭区间上连续函数的性质应用习例 例16. 设 f(x) 在闭区间 [0,a]上连续, 例20. 设 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续, 例18. 设 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续, 解： 由零点定理, 证明: 则 F(x) 在闭区间 [0,1]上连续. 由零点定理得, 例16. 设 f(x) 在闭区间 [0,a]上连续, 证明: 证明: 例18. 设 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续, 证明: 由介值定理得, 证明: 所以结论成立. 例20. 设 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续, 证明: 方法1. 由介值定理可知, 方法2. 五、函数的一致连续性 1.函数一致连续的定义 定义4 一致连续性表明: 不论在区间I的任何部分, 只要自变量的两个数值接近到一定程度就可使对应的函数值达到所指定的接近程度. 由上述定义知, 如果函数 在区间上是一致连续的, 那么 在区间上一定是连续的. 但反过来不一定成立, 即在区间上连续的函数不一定在区间上是一致连续的. 证明： 证明： 例1.7.24说明, 在半开区间上连续的函数不一定在该区间内一致连续, 但是, 关于闭区间上连续的函数, 有下面结论. 定理10 (闭区间上连续的函数是一致连续函数) 此定理的证明要用实数理论, 从略. 六、压缩映射原理与迭代法 1.压缩映射的定义 作为极限理论与函数连续性的一个重要应用, 下面简单介绍在近代数学中用于判定方程根的存在唯一性的一个重要原理, 即压缩映射原理以及用来求解方程近似根的迭代法. 定义5 容易证明: 定义在 上的压缩映射(函数)是连续的. 定理11 (压缩映射原理) 证明： （1）首先证明: 是收敛数列. 事实上, 因为 所以, 对于任何 , 有 （2）其次证明: 事实上, （3）最后证明: 事实上, 综上所述, 有唯一的不动点. 这种方法是方程求解中一种常用而且简便易行的近似解法, 称为迭代法. 由于定理证明中所作的迭代数列 收敛于方程 的精确解, 因此, 迭代数列中的任何一项 都可以作为它的近似解, 而且越 大精度越高. 在不等式 中, 令 ,得 这就是经过 次迭代后得到的近似解 与精确解 的误差估计式. 中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 第1章 函数与极限 高等数学A 1.7 函数的连续性 1.7.1 连续函数的定义 1.7.2 函数的间断点及其分类 1.7.3 连续函数的运算 1.7.4 闭区间上连续函数的性质 1.7.5 函数的一致连续性 1.7.6 压缩映射原理与迭代法 1.7.1 连续函数的定义 函数在一点处连续的定义 函数在区间上的连续性 间断点的定义 1.7.2 函数的间断点及其分类 连续性讨论习例2-6 间断点的分类 1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的运算 初等函数的连续性 习例7-12 1.7.4 闭区间上连续函数的性质 最值定理 介值定理 1.7.5 函数的一致连续性 有界定理 零点定理 应用习例14-20 1.7.6 压缩映射原理与迭代法 函数的连续性 1.增量 一般地， 一、连续函数的定义 定义1 可见，f(x)在x0处连续必须满足三个条件： 3.左右连续定义 注意: (1)f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论: (2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续； 对于区间的右端点只要左连续则称为连续. 4.函