高等数学II(微积分龚德恩范培华)函数的连续性与间断点精要.ppt

函数连续性的重要结论： 1. 连续函数的反函数是连续函数； 2. 由连续函数复合而成的复合函数也是连续函数； 3. 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的； 4. 初等函数在其定义区间内都是连续的。 注意两者的区别！ 例子 常数函数、反、对、幂、指、三 幂指函数 x y 1 ?1 O x y 1 ?1 O 连续性给极限运算带来很大方便. * 第二章 极限与连续 2.1 数列极限 2.2 函数极限 极限的基本性质 2.3 无穷大与无穷小 2.4 极限的运算法则与复合函数的极限 2.5 极限存在定理与两个重要的极限 2.6 函数连续性 §2.6 函数连续性 (1) 定义 一、连续的概念 1.函数的改变量 定义1·10 设函数 在 的某邻域内有定义，当自变量 由 变到 ，称差 为自变量 在 处的改变量或增量，通常用 表示，即 相应地，函数值由 变到 ，称差 为 函数在 处的改变量或增量，记作 ，即 §2.6 函数连续性 (2) 举例 一、 连续的概念 1.函数的改变量 例1 设函数 ，求下列自变量与函数的改变量。 （1）自变量由2变到2．01 ； （2）自变量由2变到1．99 ； 解： （1） （2） 改变量可正可负,也可能为零 (1) 定义 一、 连续的概念 2.连续的定义 观察下列函数图形，分析它们有何特征？ O 结论：左图在 处是连续的，右图在 处是间断的。 用什么式子描述？ ? (1) 定义 一、连续的概念 2.连续的定义 O 当 趋向于0时， 也趋向于0. 即 当 趋向于0时， 不趋向于0. 即 (1) 定义 一、 连续的概念 2.连续的定义 定义1·1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，在点 处给一个增 量 ，相应的函数的增量为 ，如果 ，则称函数 在点 处连续， 称为函数 的连续点。否则，称函数 在 处间断， 称为函数 的间断点。 (1) 定义 一、 连续的概念 2.连续的定义 等价定义 函数 在点 处连续必须满足下面三个条件： 函数 在点 处有定义，即 有意义 ； 函数 在点 处有极限，即 存在 ； 函数 在点 处的极限值与函数值相等，即 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果 则称函数 在点 处连续。否则，称函数 在 处间断。 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 x0的邻域内有定义； (包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) 函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既左连续又右连续. ? y = | x | 在点 x = 0 处连续. x y y = | x | O 解 解 练习 讨论函数 f (x) = x2, x ?1, 在 x = 1 处的连续性. ? 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续. 但函数 f (x) 在点 x = 1 处是左连续的. x + 1, x 1, 解 函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃 可去 无穷 振荡 其它 左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃间断点. ?函数在 x = -1 无定义, 故 x =-1 为函数的第一类间断点. ? x =-1 为函数的间断点. y x O -1 1 P(-1,-2) 进一步分析该间断点的特点. 解 补充定义 则函数 f *(x) 在 x =-1 连续. f * (x) = -2 x = -1 故将这种间断点称为可去间断点. 间断点处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 在且相等