高等数学单调与凹凸精要.ppt

第四节 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 二、曲线的凹凸与拐点 定理2.(凹凸判定法) 例3. 判断曲线 例4. 求曲线 例5. 求曲线 内容小结 思考与练习 2. 曲线 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸与拐点 函数的单调性与 曲线的凹凸性 第三章 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 证 证明 令 则 从而 即 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 拐点 (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 (1) 成立; (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 的凹凸性. 解: 故曲线 在 上是向上凹的. 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 在 两侧异号, 则点 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号, 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 对应 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在 . 的凹区间是 凸区间是 拐点为 提示: 及 作业 P152 3 (1),(7) ; 5 (2), (4) ; 9 (3), (6) ; 10 (3) ; 13 ; 14 ; *15 ; ; 第五节 有位于一直线的三个拐点. 1. 求证曲线 证明： 备用题 令 得 从而三个拐点为 因为 所以三个拐点共线. = 证明: 当 时, 有 证明: 令 , 则 是凸函数 即 2 . (自证) 第五节 * 目录 上页 下页 返回 结束 * * * *