高等数学第十一章级数精要.ppt

例3 将函数 高等数学 第11章 无穷级数 11.4 函数展开成幂级数 第11章 无穷级数 §11.4　函数展开成幂级数 一、泰勒级数 由泰勒公式可知， 是此邻域内异于 的任意一点， 那么 可以展为： 在 点的某邻域内具有 阶导数， 如果函数 其中 是 与 之间的某个值.. 定义1 为一个区间． 使得 ， 内能展开成 则称 在区间 的幂级数． ， 若存在级数 是一个给定的函数， 设 定义２ 为 在 处的泰勒级数， 则称 的泰勒系数． 级数中的系数称为函数 (2)若 ， ， 在 内能展开成泰勒级数， 处的泰勒展开式． 为 在 并称 的某个邻域 在 内具有任意阶导数， (1)若 则称 定理1 则 在某个邻域 内可展开为下列幂级数， 若函数 证 根据幂级数在收敛区间内可逐项求导有 因为在 内 证 根据幂级数在收敛区间内可逐项求导有 ……………………， 以 代入上式得： 从而 因为在 内 展开式是唯一的． 定理2表明如果 能展开成 的幂级数， 那么这种 内能展开成泰勒级数， 在 设 定理2 在点 的某一邻域 内具有各阶导数， 设函数 的泰勒公式中的余项 当 时的极限为零． 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 则 先证必要性 证 对一切 成立. 这就证明了必要性． 因此 则 再证充分性． 因此 的泰勒级数 在 内收敛于 ， 时对一切 成立， 设 则 充分性得证． 在 内能展开成泰勒级数， 从而 当 时， 称之为 的麦克劳林级数． 内能展开成 的幂级数， 若 在 ， 称上式为 的麦克劳林展开式． 就成为 泰勒级数 则 二、函数的幂级数展开式 ， 第三步：写出幂级数 第五步：写出 的幂级数展开式． 将函数 展开成 的幂级数的直接展开步骤如下： 第一步：求出 的各阶导数 第二步：求出函数及各阶导数在 处的值 第四步：验证在收敛区间 内，余项 的极限 （ 在 与 之间） 例1 解 这里记号 于是得 的泰勒级数 将 展开成 的幂级数（麦克劳林级数）． 由于 的各阶导数 其收敛半径 ,余项的绝对值为 ,对于任何有限的数 与 在 （ 之间） 从而 （11.4.1） 因 有限， 所以当 时, 于是当 时， 是收敛级数 的一般项， 而 有 （ 在 与 之间） 例2 解 所给函数的各阶导数为 将 展开成 的幂级数（麦克劳林级数）． 于是得 的泰勒级数 L , 其收敛半径 时的极限为零： 余项的绝对值当 对于任何有限的数 与 在 （ 之间） 因此得展开式： （11.4.2） 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数. 解: 于是得 级数 ， ， ，…， ，…， 从而有 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 可以证明余项 当 时趋于零． 公式（11.4.３）叫做二项展开式.　 于是 的幂级数展开式为： （11.4.３） 为正整数时， 当 即是代数学中的二项式定理． 　 　（11.4.４） （11.4.５） ， 的二项展开式 对应于 分别为： 次多项式， 的 公式（11.4.３）右边就成为 利用直接展开法也可得到如下函数的麦克劳林级数。 (11.4.4) (11.4.5) (11.4.6） 此外，利用几何级数的结果可导出 (11.4.7) 通过幂级数的运算（如四则运算，逐项求导或积分） 的幂级数展开式。 一般直接展开的方法计算量较大， 余项研究也比较麻烦， 因此，在可能的条件下，可用间接展开的方法， 即利用一些（如(11.4.1)至(11.4.7)）已知的幂级数的展开式 以及变量代换等来求 因为 而 所以 解 例4 展开成 的幂级数． 将 所以 解 展开成 例5 的幂级数． 将 ， 因为 而由(11.4.5)有 高等数学 第11章 无穷级数 11.4 函数展开成幂级数