高等数学第一学期总复习精要.ppt

第一学 期 总 复 习 复习提纲 1.习题复习 平时作业 教材课后习题、复习题 第一章 函数、极限与连续 两个重要极限 2. 等价无穷小替换定理 利用加减拆分为（1+#）形式， 化为标准形式 利用除法 利用对数，结合等价无穷小替换 5. 求 关于无穷多个无穷小求和类型 三种类型： 直接求和 放缩后利用夹逼准则 利用定积分 6 求 含变上限积分的极限 去掉积分的两种方法： 洛比达法则 中值定理 例8. 求 多种方法相结合 例如 先等价无穷小替换化简，再用洛必达法则。（P158例3） 利用连续性去掉已知函数。（上面例3例8） 通分，有理化，约公因子，增减项 第二章 一元函数微分学 重要内容: 导数和微分的计算 (包括抽象函数) 6.设 ，求 . 7.设函数 ，其中 可导，求 . 第三章 中值定理和导数应用 重要内容: 中值定理 导数应用 (单调性,凹凸性) 第四章 不定积分 重要内容: 不定积分的计算 3.求 例2. 求 例3. 求 祝大家考试顺利通过! 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 前者留下,后面的放到微分号里 分部积分---主要处理两个函数乘积积分 解: 原式 （4） 解 提示： 解 例1 A?B?1? ?2A?3B?3? A?6? B??5? 有理函数的积分 拆成两项 解 解: 原式 洛 （方法一） （方法二） 原式= （9 ）.求 解： 当 时， 由夹逼准则，原式=0. 一种方法用几次 例如，连用几次洛必达法则。（例9例10） 导数和微分的几何含义, 切线法线的求法 复合函数,反函数,隐函数,参数方程的求导方法, 高阶导数求法 (对数求导法) 微分的求法 导数与微分的关系式 1. 求下列函数的导数？ 解：(1) (1) 每次只算 一个导数 (2) 解： 每次只算 一个导数 (3) 解: 先化简,再求导 2. 求下列函数的微分： (2) 解：(1) (1) 解: (2) 3. 求下列函数的n（n为正整数）阶导数： (2) 解：(1) 所以 (2) 所以 (1) 高阶 导数 4.求由方程 所确定的隐函数y=y(x)的一阶导数 和二阶导数 解：对方程 两边同时对x求导，有 即 因此 隐函数求导 y解不出就 不必代回 即 因此 下面求二阶导数, 对方程两边同时对x求导, 有 5.求由参数方程 所确定的函数y=y(x)的一阶导数 和二阶导数 解：因为 所以根据 因为 所以根据 参数方程求导 解 幂指函数 对数求导法 解 抽象函数的导数 只要分清函数的 复合层次即可 根的存在性,所在区间,唯一性 洛比达法则求七种未定式的极限 用中值定理证明某些等式 泰勒公式, 常用展开式 极值问题 中值定理,单调性,凹凸性证明不等式 1．证明： 在（0，1）上有且仅有一根。 ，则 在[0，1]上连续且 由零点定理可知， 在(0，1) 上至少有一个根 证：（先证存在性） 设 在(0,1) 上还有一个根 即 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导， （0，1）使得 但是， 不可能有这样的点, 故方程在（0，1）上有且仅有一根。 （再证唯一性） 由罗尔定理可知至少存在一点 （0，1），矛盾。 也可以不用 罗尔定理,直 接利用单调性 假设 2．证明： 在 证明：（先证存在性） 则 在 上连续且 由零点定理可知， 在 上至少有一个根 内 有且仅有一根。 设 （再证唯一性） 在 上严格单调递增， 上有且仅有一根。 因为 故方程在 3.设 , 证明 . 证明: 设 . 则 , 所以当 时, , 故 单调减少, 时, . 从而当 (方法一) 即当 时, 单调增加. 时, 即 故 因此当 3.设 , 证明 . 证明: 设 . 则由中值定理 , 所以当 时, , 故 单调减少, 时, . 从而当 即 (方法二) 课堂上讲 解的方法 4.设 在 上连续, 在 内可导,且 求证存在 , 使得 证明: 设 , 则 且 即 在区间 上满足罗尔中值定理的条件, , 使得 又 因此有 整理后可得