高等数学函数的连续性精要.ppt

第六节 2. 单侧连续 例2 二、函数的间断点及其分类 1. 定义 2. 间断点的分类 例3 例4 三、连续函数的运算法则 例5 3. 复合函数的连续性定理2.16 例6 四、初等函数的连续性 注 例7 内容小结 思考与练习 3. 例2 例3 例4 例5 讨论函数 例6 讨论函数 例7 例8 例9 函数 f(x) 的图形在 x=0 处有一个“跃度”, 故称跳跃间断点. o x y 1 解 故连续区间为 解 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. 间断点的类型. 解 间断点为 为跳跃间断点. 上的间断点及其类型. 在区间 为无穷间断点. 为无穷间断点。 解 故函数在这些点处间断. 故x=0是第一类间断点. 是第一类间断点. 二、 函数的间断点及其分类 一、 函数连续性的概念 函数的连续性 三、连续函数的运算法则 四、 初等函数的连续性 那么称 为自变量的增量(或改变量). 若相应地函数 y 从 变到 称 为函数的增 量(或改变量). 定义2.9 设有函数 y = f (x). 当自变量 x 从 增量概念: 变到 1. 连续函数的定义 定义2.10 则称函数 f(x)在点 x0处连续的三要素： 证 ∴ 例1 左连续； 右连续. 定理 解 讨论函数 在点x=1处的连续性. 由于 所以 f(x) 在点 x=1 处不连续. 所以 f(x) 在点 x=1 处右连续. 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 3. 函数在区间上的连续性 如果上述三个条件中有一个不满足，则称 f (x) 在 (或间断点). 点x0 处不连续(或间断)，并称点x0为 f (x)的不连续点 间断点 振荡 同时存在 可去 跳跃 无穷 类 第 一 至少有一个不存在 第 二 类 根据： 为其第二类无穷间断点 . 为其第二类振荡间断点 . 为其第一类可去间断点 . (4) 为其第一类跳跃间断点 . ◆间断点出现的位置： （1）没有定义的点，但不一定是可去间断点。 （2）分段函数的分段点。 指出下列函数的间断点及其类型： 解 1° 找 f(x) 无定义的点 2° 判断间断点的类型 解 1°找 f(x) 无定义的点 2° 查分段点： 定理2.14 在某点连续的有限个函数 积 ,商(分母≠0) 运算, 结果仍是在该点连续的函数 . 经有限次和 , 差 , 1. 四则运算的连续性 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 如果函数 例如： 在 上连续单调递增， 其反函数 (证明略) 在[－1 , 1]上也连续单调递增. 且连续. (减少) 则其反函数 在区间 单调增加 在对应区间 (减少) 上亦单调增加 且连续. 类似地, 在区间 上连续单调递减. 2. 反函数的连续性定理2.15 设函数 y = f [u(x)]由函数 y = f (u)与函数 u=u(x)复合而成, 而函数 y = f(u) 可以写成: 定理2.16的结论 函数记号f 与极限记号可以交换次序。 意义: 解法一 解法二 定理 基本初等函数在定义域内连续. 一切初等函数在定义区间内连续. 例如, 的连续区间为 (端点为单侧连续) 的连续区间为 1° 初等函数仅在其定义区间上连续, 在其 定义域内不一定连续; 如： 在这些孤立点的去心邻域 (邻域半径不超过2?)内没有定义, 在O点的去心邻域(邻域半径不超过1)内没有定义, 因此它无连续点. 因此它在 x=0 处不连续，从而在其定义域内不连续. 2° 初等函数求极限的方法代入法. 解 x=0是它的定义 区间内的点, 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 3. 基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续 说明: 分段函数在分段点处是否连续需讨论。 例 解 函数定义域为 X=0是分段点，且是间断点 1. 讨论函数 x = 2 是第二类(无穷)间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类(可去)间断点 , 续? 反之是否成立? 解 且 反例： x 为有理数 x 为无理数 处处间断, 处处连续 ，但 “反之” 不成立 . 例1 解 ∵ ∴ 即 解 讨论函数 因为f(x)在x=0处无定义, 所以x=0是f(x)的间断点, 又 注 故若补充定义f(0)=1, 则函数 在x=0处就连续了, 因此,