高等数学矩阵的初等变换精要.ppt

六、小结 3. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 2．初等变换作用. 1．初等变换概念. 七、作业 P.78. 1(1)(3)，4，5(1) * 1、 初等矩阵的概念 三、初等变换的应用 矩阵的初等变换与线性方程组 2、 初等矩阵的作用 一、初等变换的概念 3、 初等矩阵的性质 二、初等变换的性质 （2）用不等于0的数乘某一行 ； 定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 一、初等变换的概念 （3）某一行 k倍后加到另一行上去 ． （1）交换两行； 定理 任意一个矩阵 可以化为行最简形矩阵. 经过有限次初等行变换， ~ 例 用初等行变换将下面矩阵化为行最简形矩阵 解 矩阵之间的等价关系具有下列性质： 定义了矩阵的初等行变换，同理可定义矩阵的初等列变换． 定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换． 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作 A ~ B. 定理 任意一个矩阵 它称为矩阵A的标准形. 可以化为下面形式的矩阵 经过有限次初等变换， 例 用初等变换将下面矩阵化为标准形 初等行变换 定理1 设A与B为 矩阵，那么： （1） 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P ， 使 （2） 的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵Q， 使 （3） 的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P 及n阶可逆矩阵Q，使 为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识． 二、初等变换的性质 定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1、初等矩阵的概念 2、初等矩阵的作用 性质1 设 是一个 矩阵， 对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵； 对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. m 用3阶初等矩阵 左乘矩阵 ，得 举例证明 左乘 相当于交换了A的2,3两行. 用4阶初等矩阵 右乘矩阵 ，得 右乘 相当于交换了A的2,3两列. 3、初等矩阵的性质 定理 初等矩阵都是可逆的，且 设A的标准形是F， 性质2 方阵A为可逆方阵充分必要条件是存在有限个初等方阵 证 先证充分性. 有限个可逆矩阵的乘积仍可逆， 故A可逆. 设 因初等矩阵可逆， 再证必要性. 因A可逆， 则F可逆， 那么F = E， 下面应用初等矩阵的知识来证明定理1． 定理1的证明： （1）依据 的定义和初等矩阵的性质，有 A经有限次初等行变换变成B 存在有限个m阶初等矩阵 ， 使 类似可证明（2）（3） 存在m阶可逆矩阵P ，使 推论 矩阵A可逆的充分必要条件是 证 A可逆 存在可逆矩阵 使 说明: 当A可逆时，仅用初等行变换就可将A化成E 三、初等变换的应用 利用初等变换求逆阵的方法： 1. 于是 又因为 例2 解 故A可逆， 且 2. 由于 于是 解 例3