高等数学微积分第七节函数的连续性与连续函数的精要.ppt

二、函数的间断点 小结 1、函数的和、差、积、商的连续性 4. 初等函数的连续性 小结: * * 第七节 函数的连续性与连续函数的运算 一、函数的连续性 1. 函数在一点处连续的定义 例1 证: 由定义1知: 结论 例2 解 右连续但不左连续 , 2.区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例3 证 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 解 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 例8 解 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 定理1 例如, 三、连续函数的运算 引理 2. 复合函数的连续性 例8 解: 例9 解 同理可得 定理2 例如: 定理3 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 3. 反函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域 内是连续的. ★ ★ ★ 结论1 基本初等函数在定义域内连续. ★ (均在其定义域内连续 ) 结论2 一切初等函数在其定义区间内连续. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如: 函数在这些孤立点的邻域内没有定义.所以， 该函数没有连续点。 这个函数在0点的邻域内没有定义. 所以， 0不是它的连续点。 注意1　 再如: 例3 例4 解: 解: 注意2 初等函数求极限的方法代入法. 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 反函数的连续性. 思考题 思考题解答 是它的可去间断点 练 习 题 *