高等数学微积分课件多元函数的极值精要.ppt

在点(1,0)处取得极小值－1 看上去这是一个椭圆抛物面 极小值点 with(plots): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): qumian:=implicitplot3d({z=x^2-x*y+y^2-2*x+y},x=-2..3,y=-2..2,z=-2..2,scaling=constrained,style=patchcontour,numpoints=10000,contours=20): display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[40,70]); contourplot(x^2-x*y+y^2-2*x+y,x=-1..3,y=-2..2,contours=30,thickness=2); 例 解： 先求驻点 驻点 驻点 无极值 又 所以 是极小值 有极值 也是极小值 同理 with(plots): qumian:=implicitplot3d(z=x^4+y^4-4*x*y,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..3,numpoints=5000,style=patchcontour): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1.5,v=0..0.01,thickness=3): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=-1..3,v=0..0.01,thickness=3): display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=[-28,45]); 裤子？ with(plots): contourplot(x^4+y^4-4*x*y,x=-1..1,y=-1..1,thickness=2,contours=50,coloring=[red,green]); 鞍点 例 解： 先求驻点 驻点 无极值 所以 不是极值 z = xy无极值 (0, 0) 是鞍点 双曲抛物面 鞍点 with(plots): qumian:=implicitplot3d(x*y=z,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2,grid=[15,15,15],style=patchcontour,contours=20): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-2..3,v=0..0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): display(qumian,x_axis,y_axis, z_axis,orientation=[-17,66],scaling=constrained); 再论极值的充分条件：用 Hesse 矩阵 设(x0, y0)是驻点: 或 作 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的 Hesse 矩阵： 对称矩阵 (1) 若 是正定矩阵： 则 是极小值 (2) 若 是负定矩阵： 则 是极大值 (3) 若 是不定矩阵： 则 不是极值 以上二元函数极值的充分条件，可以用Hesse矩阵推广到 n 元函数： 设 是驻点: 令 f(M) 在点 M0 的 Hesse 矩阵： 对称矩阵 一个对称矩阵是正定的当且仅当它的所有顺序主子式都为正。 一个对称矩阵是负定的当且仅当它的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。 一个对称矩阵是不定的当且仅当它既非正定，也非负定。 顺序主子式 (1) 若 是正定矩阵： 则 是极小值 (2) 若 是负定矩阵： 则 是极大值 (1) 若