高等数学微积分课件多元函数的最值精要.ppt

由于多元函数的定义域边界有无穷多个点 因此，多元函数的最值比较复杂 如果根据问题知道：最值出现在定义域内部，则可避免边界点的讨论。 * 四川大学数学学院 2005 上一页 | 首页 | 下一页 Global Values of Functions of Several Variables Candidates？ 1. Critical points 2. Boundary points Theorem A continuous function on a closed field must attain its global maximum and global minimum at some points, either interior points or boundary points Example Find absolute extrema of On the domain： a square This is a closed field (1) Find critical points Only one critical point, which is also a stationary point (2) Find candidates on the boundary For the side AB： Stationary point And of course ,the End points AB Similarly, we can obtain C, D and minimum maximum Evaluate T at those points A, B, C, D: T = 1 O: T = 0 E, G: F, H: Maximum at A, B, C, D Minimum at O with(plots): qumian:=implicitplot3d(x^2+y^2-x*y=z,x=-2..2,y=-2..2,z=0..2,style=patchcontour,contours=15,numpoints=10000): x_axis:=plot3d([u,0,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2): y_axis:=plot3d([0,u,0],u=-1..1,v=0..0.01,thickness=2): z_axis:=plot3d([0,0,u],u=0..3,v=0..0.01,thickness=2): display(qumian,x_axis,y_axis, z_axis,orientation=[23,66],scaling=constrained); with(plots): p1:=implicitplot(x^2+y^2-x*y=1,x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,color=blue,numpoints=10000,thickness=3): p2:=implicitplot(x^2+y^2-x*y=3/4,x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,color=green,numpoints=10000,thickness=3): p3:=implicitplot(x^2+y^2-x*y=1/4,x=-2..2,y=-2..2,scaling=constrained,color=brown,numpoints=10000,thickness=3): display(p1,p2,p3); END 例6.7 目标函数 定义域是开区域 最值将在区域内部取到 ? 好消息！ 求驻点 得驻点： S 取得极小值 当 时 材料最省 6.6多元函数的极值 温度场 contourplot(x^2+y^2-x*y,x=-2..2,y=-2..2,contours=50,thickness=2); 等温线 函数 f (x, y) 在一区域上的最大（小）的函数值称为函数的最大（小）值，简称最值。 最值是一个整体概念 函数 f (x, y) 在一区域 D上的最值可以在区域内部取到（也是极值） 也可以在区域的边界取到（但非极值） 相比之下，极值是一个局部概念 例如 的最大值在定义域内部的 O(0, 0) 取到： 这个最大值也是极大值。 函数的最小值在定义域边界取到，如 最大值 最小值 也是极大值 但非极小值 可能的最值点？ 1. 定义域内部的极值点 包括驻点和不可导点 2. 定义域的边界点 最值是否存在？ 定理 （最值的存在定理） 比较：一元函数的情形 定理 闭区间上连续的函数在该区间上必有最大的函数值和最小的函