晶体的对称性讲解.ppt

第四节 晶体的对称性 对晶体施加某种几何操作后，晶体可以完全复原的性质，称为晶体的对称性，这种几何操作为对称操作。在晶体对称操作过程中， 若至少有一点保持不变，这种对称操作称为点对称操作，晶体的这种对称性称为点对称性或宏观对称性。 本节主要内容: 一、群的基本概念 二、对称性与对称操作 三、晶系和布拉菲原胞 一、群的基本概念 群是一组元素的集合，即 这些元素必须满足如下条件： (1)群的封闭性：集合中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素，即： (2)存在单位元素E，使得所有元素满足： (3)对于任意元素A，存在逆元素A-1,有 (4)元素间的“乘法运算”满足结合律，即 二、对称性与对称操作 对称性： 经过某种动作后，晶体能够自身重合的特性。 对称操作： 使晶体自身重合的动作。 对称素： 对称操作所依赖的几何要素。 1.对称操作与线性变换 经过某一对称操作，把晶体中任一点 变为 可以用线性变换来表示。 O x1 x3 x2 操作前后，晶体两点间的距离保持不变， O点和X点间距与O点和 点间距相等。 I为单位矩阵，即： 或者说A为正交矩阵，即 ，其矩阵行列式 。 2.简单对称操作(旋转对称、中心反映、镜象、旋转反演对称) (1)旋转对称(Cn,对称素为线) 若晶体绕某一固定轴转 以后自身重合，则此轴称为n次(度)旋转对称轴。 下面我们计算与转动对应的变换矩阵。 当OX绕Ox1转动角度? 时，图中 若OX在Ox2x3平面上投影的长度为R，则 O x1 x3 x2 ? 蓝色线表示OX 在Ox2x3面上的投影 晶体中允许有几度旋转对称轴呢? 设B1ABA1是晶体中某一晶面（纸面）上的一个晶列，AB为这一晶列上相邻的两个格点。 A1 A B B1 ? ? 若晶体绕通过格点A并垂直于纸面的u轴顺时针转?角后能自身重合，则 也应为格点。 A1 A B B1 ? ? 由于晶体的周期性，通过格点B也有一转轴u，绕此轴逆时针转?角后也能自身重合，则 也应为格点。 是 的整数倍， 由于cos?只能在－1到1之间取值，则 m只能取－1、0、1、2、3，?只能取： 综合上述证明得： 晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。 1 2 3 4 6 正五边形沿其垂直轴每旋转720恢复原状，但它不能重复排列充满一个平面而不出现空隙。因此晶体的旋转对称轴中不存在五次轴，只有1，2，3，4，6度旋转对称轴。 (2)中心反演(i，对称素为点) 取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点 变为 (3)镜象(m，对称素为面) 如以x3=0面作为对称面，镜象是将图形的任何一点 变为 (4)旋转--反演对称 若晶体绕某一固定轴转 以后，再经过中心反演,晶体自身重合，则此轴称为n次(度)旋转--反演对称轴。 旋转--反演对称轴只能有1，2，3，4，6度轴。 旋转--反演对称轴用 表示。 旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素。如： 1 2 1 2 1 2 3 4 5 6 动画 1 2 3 4 5 6 6 1 2 3 4 A B D C E F G H 正四面体无四度轴，但有四度-反演轴。 动画 动画 6=3+m 点对称操作： (1)旋转对称操作： 1，2，3，4，6 度旋转对称操作。 C1，C2，C3，C4，C6 （熊夫利符号） 1， 2， 3， 4， 6 （国际符号） (2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（熊夫利符号） （国际符号） (3)中心反映：i。 (4)镜象反映：m。 独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 。 或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 立方体对称性 (1)立方轴C4： 3个立方轴； (2)体对角线C3： 4个3度轴； (3)面对角线C2： 6个2度轴； 与4度轴正交的对称面 与2度轴正交的对称面 所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转--反演点对称操作构成的群，称作点群。 理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的