静电场的解法讲解.ppt

3.4镜像法 根据边值问题解的唯一性，只要找到一个函数既满足该问题的微分方程，又满足该问题的边界条件，则此函数就一定是这一场的解，镜像法就是应用唯一性定理来求解场的方法。 镜像法的基本思想为：将边界对所研究区域中场的影响，用一些位于所研究区域外的假想电荷来代替，也就是用一些位于所研究区域外的镜像电荷来代替边界条件，如果镜像电荷与区域中原电荷分布产生的场在边界上满足所给的边界条件（当然在场域内也满足微分方程），那么所求区域的场即可认为是由原电荷分布与镜像电荷产生的。 镜像法主要适用于一些平面、柱面或球面导体边界问题。 3.4.1平面导体与点电荷 设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半空间中的电场。 分析：上半空间任一点P处的电位，应等于点电荷q和无限大导体平板上感应的负电荷产生的的电位总和。因此，上半空间的电位问题可表示为 ： 其边界条件可写成：Z=0处，φ=0 由于无限大导体平面上一点电荷q在上半空间的电场分布与无穷大空间中相距为2h的两等值异号点电荷的电场完全相同，如图所示。因此，无限大导体平面边界可用一个位于（x，y，z－h）的－q来替代，即抽走导体板，在与原点电荷q对称的位置上放置一个镜像电荷－q来代替原导体平面上的感应电荷，则该镜像电荷在空间中任一点产生的电场与感应电荷产生的电场等效。若选无穷远处为零电位点，则有： 将r1和r2的表达式代入上式可得： 总感应电荷为： 可以验证电位满足边界条件，而此电位显然在点（x，y，z－h）满足泊松方程，在其它的点满足拉普拉斯方程，即此电位是此边值问题的唯一解。 导体平面上感应电荷密度为 ： 角形区域 如直角形区域的边界为两个相交成直角的无限大导体平面并接地，如图所示，在它附近有一点电荷，现来计算此直角形空间内的电位分布φ。 用镜像法求解，必须在原电荷对OA 和OB平面的对称位置分别引入镜像电荷-q ，但这并不能使OA 和OB面成为零电位。分析可知，若在原电荷的原点对称位置再引入镜像电荷q ，则原电荷及这三个镜像电荷共同作用将使得OA 和OB面保持电位满足原来的条件，因此场中任一点的电位即可认为是由原电荷及这三个镜像所生产电位的迭加。 对于以上的原电荷和镜像电荷，从几何关系上不难看出：它们位于一个同心圆上，而且从原电荷开始，无论是绕顺时针还是逆时针走向，相邻的一对互为镜像的电荷大小相等，符号相反，并且最终回到原电荷位置，如图所示 如果两导体平面相交不成直角，而是成α角时，也必须同上面的情况一样，轮流地找出那些镜像电荷及镜像电荷的镜像，一直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。可以证明：只有当 重合，即镜像电荷的总数为2 n －1。在这种情况下， α角内任一点的电位等于所有的镜像电荷和原电荷在该点产生的电位之和。当n 不为整数时，镜像电荷将是无限多个，无法使两相交的导体平面为等位面。这种情况镜像法不能用于求解。 （n为整数）时，最后的镜像电荷才可能与原电荷 3.4.2 导体球面与球外点电荷 例：设一个半径为a的接地导体球，在与球心相距d1的P1点有一点电荷q1，如图所示，试求导体球外的电位函数。 解：由静电感应原理可知：接地导体球上的感应电荷分布对OP1轴对称且右边密度大于左边密度，则镜像电荷一定位于原电荷与球心的连线OP1上，设镜像电荷q2距球心距离为d2，另外，镜像电荷q2与原电荷q1产生的场在球面上任一点必须满足电位为零的条件。若在球面上任选一点P，则有： 为确定q2和d2 ，在球面上取通过P2的直径的两个特殊端点，在A点，R1= d1－a ，R2= a － d2 ；在B点， R1= d1+a ，R2= a + d2。 则上式在A点和B点上可以写为： 由此可得： 于是球外任一点的电位为 ： 若采用球坐标系，取原点为球心O点，极轴与 OP1重合，那么球外任一点的电位可表示为 ： 感应电荷与镜像电荷相等 球面上感应电荷密度 球面上总的感应电荷量为 对于线电荷与导体柱面的边值问题，如果用镜像法，其求解方法与点电荷与导体球面的边值问题的求解方法类似。 如果导体球不接地，导体球表面电位不为零，但导体球仍为一等位体，球面上感应净电荷为零。为了满足导体球的边界条件，只需在球上再加上一个镜像电荷q3= －q2 ；且此时q3必须放在球心处，以保持球面仍为等位面，如图所示。此时，球面外任一点的电位为 当电介质分界面为无穷大平面时，如果在其附近放置一点电荷或一线电荷，用