高阶常系数齐次线性精要.ppt

第七节 高阶线性微分方程 定义: 说明: 定理 2. 第八节 常系数齐次线性微分方程 2. 当 3. 当 内容小结 思考与练习 习题 * 定义1. 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在(?? , ?? )上都有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 线性相关 存在不全为 0 的 使 ( 无妨设 线性无关 常数 证毕 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 不一定是所给二阶方程的通解. 是二阶线性齐次方程的两个线 性无关特解, 则 数) 是该方程的通解. 例如, 方程 有特解 且 常数, 故方程的通解为 推论. 是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 是二阶非齐次方程 的一个特解, Y (x) 是相应齐次方程的通解, 定理 3. 则 是非齐次方程的通解 . 证: 将 代入方程①左端, 得 ② ① 是非齐次方程的解, 又Y 中含有 两个独立任意常数, 证毕 因而 ② 也是通解 . 例如, 方程 有特解 对应齐次方程 有通解 因此该方程的通解为 小结: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 因此原方程的通解为 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 多项式唯一分解 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为