高阶导数及相关变化率精要.ppt

第二章习题课 2.3.1 高阶导数 2.3.2 相关变化率 * ★上讲内容回顾(1) 求导法则及方法 ★上讲内容回顾(2) 常用基本求导公式 2.3 高阶导数及相关变化率 2.3.1 高阶导数 2.3.2 相关变化率 引例:变速直线运动的加速度。 1、高阶导数的概念 定义 记作： 1.二阶及二阶以上的导数称为高阶导数。 即： 注： 约定: 2.函数 f(x)在点x处具有n阶导数,也常说成 f(x)在 点x处n阶可导, 而且当 f(x)在点x处n阶可导时,蕴涵着在x的某邻域内一切低于n阶的导数都是存在且连续的。 2、高阶导数的计算 1)直接法：即由高阶导数的定义逐步求高阶导数。 例1 解 例2 解 同理可得 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数。(数学归纳法证明) 注 1)直接法求n阶导数一般适用于阶数不太高,如 n5时。 2)我们用直接法求出了一些高阶导数的基本公 式,应该记住： 例3 解 2)间接法 所谓间接法,即利用已知的高阶导数公式, 通过运算法则, 变量代换等方法, 求出n阶导数。 ★ 高阶导数的运算法则 ----莱布尼兹公式 例4 解 解 解 注 计算高阶导数一般比较麻烦,多使用间接法,使用时,应根据给出的函数先予以化简变成基本公式中的形式(如(2)(3)),然后再套用公式计算。 3)分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的 高阶导数 例5 解 例6 解 例7 解 一般地， 注 应掌握该结论的推导思想！ 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 我们来介绍导数在相关变化率问题中的简单应用。 * *