高阶导数精要.ppt

思考与练习 2.设 3. (填空题) (1) 设 补充. 设 * 第二章 导数与微分 习题课 2 §2.5 函数的微分 §2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 §2.3 高阶导数 §2.2 函数的求导法则 §2.1 导数概念 重点 导数与微分的定义及几何解释 导数与微分基本公式 四则运算法则 复合函数求导的链式法则 高阶导数 隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质，用定义求导，链式法则 隐函数和参量函数求导 §2.3 高阶导数 一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求法 直接法、间接法 问题:变速直线运动的加速度 即 即 §2.3 高阶导数 一、高阶导数的定义 定义: 如果函数 f (x)的导数f ?(x)在点x处可导, 即 存在, 则称(f ?(x))?为函数f (x)在点x处的二阶导数. 记作 二阶导数的导数称为三阶导数, 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 记作 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 一般地, 函数f (x)的n–1阶导数的导数称为函数 f (x)的n阶导数, 记作 相应地, f (x)称为零阶导数, f ?(x)称为一阶导数. 二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解 例2 解 例3 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析 结果的规律性,写出n阶导数.——逐阶求导，寻求规律， 写出通式 注 例4 解 例5 解 公式 莱布尼兹公式 2.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 例6 解 常用高阶导数公式 例8 解 解: 解: (3) (3) 提示: 令 原式 原式 解: 例9 试从 导出 解 ex: 注 ①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对 哪一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 ② 都是对 求导 ③ 小结 高阶导数的定义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 逐阶求导,寻求规律,写出通式 2.间接法. 利用已知的高阶导数公式 思考题 设 连续，且 ， 求 . 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求 解: 1.设 求 其中 f 二阶可导. 求使 存在的最高 分析: 但是 不存在 . 2 又 阶数 则 提示: 各项均含因子 ( x – 2 ) (2) 已知 任意阶可导, 且 时 提示: 则当 4. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: (3) 提示: 令 原式 原式