高三数学函数的连续性精要.ppt

* 函数的连续性 会宁四中 王国瑞 一种是连续变化的情况 温度计 一、引入 另一种是间断的或跳跃的 例如邮寄信件时的邮费随邮件质量的增加而作阶梯式的增加等，这些例子启发我们去研究函数连续与不连续的问题。 40 80 120 160 x克 y分 两种变化形式: 二、新课:函数的连续性 1、函数在某一点处的连续性 如图：从直观上看，我们说一个函数在一点x=x0处连续是指这个函数的图象在x=x0处没有中断，所以以上图象(1) 在点x0处是连续的,而图象(2)(3)(4)在x=x0处是不连续的。 o x y 1 2 1 2 o x y 2.5 （1）在x=1处有定义 （2） （3） 不存在。 y x o 1 2 （1）在x=1处有定义； （2）函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f（1） 导致函数图象断开的原因： 1、函数在 处没有定义 2、函数在 时极限不存在 3、函数在 处的极限值和函数值不等 一般地，函数f（x）在点x0处连续 必须同时具备三个条件： 1、 存在，即函数 在点x0处有定义。 2、 存在。 3、 o x0 x y 定义：设函数f(x)在x=x0处及其附近有定 义，而且 则称函数f(x)在点x=x0处连续，称x0为函数f(x)的连续点. 例1 讨论下列函数在给定点处的连续性： 解：结合图象可知: （1）函数 在点x=0处没有定义，因而它在 点x=0处不连续。 （2）因为 练习1：连续函数的图象有什么特点？观察下列函数的图象，说出函数在x=a处是否连续： x y O a x y O a x y O a x y O a x y O a x y O a 连续 不连续 连续 不连续 不连续 不连续 （1） （2） （3） （4） （5） （6） a x y o （7） 不连续 a x y o （8） 连续 2、函数的连续性： (1)、开区间内连续：如果f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续，或说f（x）是开区间（a，b）内的连续函数. 例如，函数y=1+x2在闭区间[-1，1]上连续，而函数y=1/x在开区间（0，1）内连续，在闭区间[0，1]上不连续，因为它在左端点x=0处不存在右极限。 练习2、利用下列函数的图象，说明函数在给定点或开区间内是否连续。 (2)、闭区间上连续：如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续，在左端点x=a处有 ，在右端点x=b处有 ，就说函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。 x y o 不连续 连续 连续 连续 练习3:试问下列各图对应的函数f(x)在x=a处是否连续? 答案:连续 的是(1). 4、闭区间上连续函数的性质： o x2 x1 b a x y 从几何直观上看，闭区间[a，b]上的一条连续曲线,必 有一点达到最高，也有一点达到最低。如上图：对于任意 ，这时我们说闭区间[a,b]上的连续函数f（x）在点x1处有最大值f（x1), 在点x2处有最小值f（x2）。 性质1 最大值最小值定理： 如果f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f（x）在闭区间[a，b]上有最大值和最小值。 注 函数的最大值、最小值可能在区间端点上取得。 如函数 在点x=1处有最大值1,在 点x=-1处有最小值-1. 若令h(x)=f(x)+g(x),因为函数f(x)、g(x)在x=x0处连续，所以函数h(x)在x=x0处有定义,而且: 性质2 如果函数f(x)、g(x)在某一点x=x0处连续，那么 函数 在点x0处都连续。 5、初等函数的连续性： 我们以前学习了许多初等函数(幂函数、指数函数、 对数函数、三角函数等) ，由它们的图象可以看出，这些函数在其定义域内每一点处的极限值都等于函数值, 它们在其定义域内都是连续的。同样由上面的性质2，我们可知，这些函数和常数经过有限次四则运算而得到的函数在其定义域内仍是连续的。例如：二次函数 y=ax2+bx+c可以看作是由常数a乘以幂函数x2的积，加上常数b乘以幂函数x的积，再加上常数c而